Ну я исходил из того, что утверждения о соотношении биссектрис и о симметрии центров равносильны (а доказывать это формально мне кажется ловлей блох) и можно исходить именно из симметричности. Тогда угол

при основании находится очевидным образом. Если

-- центр описанной окружности,

-- центр вписанной и

-- середина разделяющего их отрезка (лежащая на основании

), то

и, следовательно,

. При этом

, откуда

, т.е.

.
Дальше можно так. Достраиваем треугольник до правильного пятиугольника

, вписанного в ту же окружность. Берём равнобедренный треугольник

и срезаем его вершинку

хордой

, параллельной стороне

. Получаем равнобедренную трапецию

. В ней диагональ

(расположенная вертикально) равна удвоенной биссектрисе, выходящей из вершины

исходного треугольника. А диагональ

равна биссектрисе, выходящей из вершины

(поскольку треугольники

и

всё-таки равны).