Преобразование Фурье и комплексный анализ

[shtudent]

Надо найти преобразование Фурье от функций $\frac{\cos(x) - 1}{x}$.
Так как данная функция не из $\L ^1(\mathbb R)$, я решил воспользоваться одним свойством: $\hat{f'} = ix\hat{f}$. Производная, в самом деле, лежит в $\L ^1(\mathbb R)$.
Вопрос: Как решить интеграл для нахождения преобразования Фурье от производной?

[Integrall]

shtudent в сообщении #573132 писал(а):

Производная, в самом деле, лежит в $\L ^1(\mathbb R)$.

почему вы так решили?

[ewert]

shtudent в сообщении #573132 писал(а):

Так как данная функция не из $\L ^1(\mathbb R)$,

Но зато эта функция вполне себе из $L _2(\mathbb R)$, чего и достаточно для корректности задачи. Интеграл Фурье для неё не особенно сложно считается в лоб с помощью вычетов, только надо быть аккуратными со знаками. Ну или, предчувствуя вид ответа, просто угадать его. Там получатся два соседствующих прямоугольных импульса разных знаков: ноль левее минус единицы, минус некоторая константа от минус единицы до нуля, плюс та же константа до единицы и потом снова тождественный ноль.

[shtudent]

Integrall в сообщении #573136 писал(а):

shtudent в сообщении #573132 писал(а):

Производная, в самом деле, лежит в $\L ^1(\mathbb R)$.

почему вы так решили?

Проинтегрировал. Сошелся к нулю.

-- 19.05.2012, 18:04 --

ewert в сообщении #573171 писал(а):

shtudent в сообщении #573132 писал(а):

Так как данная функция не из $\L ^1(\mathbb R)$,

Но зато эта функция вполне себе из $L _2(\mathbb R)$, чего и достаточно для корректности задачи. Интеграл Фурье для неё не особенно сложно считается в лоб с помощью вычетов, только надо быть аккуратными со знаками. Ну или, предчувствуя вид ответа, просто угадать его. Там получатся два соседствующих прямоугольных импульса разных знаков: ноль левее минус единицы, минус некоторая константа от минус единицы до нуля, плюс та же константа до единицы и потом снова тождественный ноль.

Ну так вот, не получается у меня с вычетами. То есть, я пробовал некоторые методы применить, но безрезультатно. Можете подсказать?

[ewert]

shtudent в сообщении #573349 писал(а):

Проинтегрировал. Сошелся к нулю.

Кто сошёлся-то?...

Не будет там никаких нулей. И производная к $L_2(\mathbb R)$, естественно, не принадлежит. И ничего полезного производная не даст, интегрируйте в лоб.

-- Сб май 19, 2012 19:10:52 --

shtudent в сообщении #573349 писал(а):

Ну так вот, не получается у меня с вычетами.

Вы в курсе, что $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\dfrac{e^{i\alpha x}}x\,dx=\pi i\cdot\mathop{\mathrm{sign}}(\alpha)$ -- именно по вычетам, вкупе с леммой Жордана? (интеграл, естественно, понимается в смысле главного значения, но этого и достаточно)

[shtudent]

Цитата:

Вы в курсе, что $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\dfrac{e^{i\alpha x}}x\,dx=\pi i\cdot\mathop{\mathrm{sign}}(\alpha)$ -- именно по вычетам, вкупе с леммой Жордана? (интеграл, естественно, понимается в смысле главного значения, но этого и достаточно)

Хорошо. Ну а каким тогда методом посчитать следующий интеграл:
$\int_{\mathabb R} \frac{\cos(t)e^{itx}}{t}dt$

[ewert]

Тривиальным: выразить косинусы через экспоненты и раскрыть скобки.

[shtudent]

Спасибо.