ВТФ

[RIP]

Существуют ли непостоянные мероморфные (в $\mathbb{C}$) функции $f(z)$ и $g(z)$ такие, что $f^3(z)+g^3(z)=1$?

[Руст]

Да существуют. Это уравнение рациональной заменой приводится к форме Вейрштрасса эллиптической кривой. Соответственно соответствующая функция Вейрштрасса и её производная удовлетворяют этой форме уравнения.Подробности в книге Курант, Гурвиц "Теория функций".

[RIP]

А $f^n(z)+g^n(z)=1$ при $n\geqslant4$?

[Руст]

И здесь я не вижу преград к этому. Преграды имеются для целых функций. В частности, для первого уравнения в этой книге имеется простое доказательство несуществования не постоянных целых двоякопериодичных функций.

[RIP]

Попробуйте привести пример (или доказать его существование).

[Руст]

RIP писал(а):

Попробуйте привести пример (или доказать его существование).

Это не сложно. Вначале возьмём в качестве g(z)=z. И разложим $f(z)=(1-z^n)^{1/n}$ в ряд, который сходится в единичном круге. Можно доказать, что на границе круга имеются только полюса. Тогда можно через сопряжение продолжит функцию на всю плоскость. Для пояснения сопряжения можно единичный круг отобразить на верхнюю полуплоскость и в нижнюю отобразить как сопряжение от f(z1), где z1 сопряжение от z.
Остаётся вопрос о целых решениях. Для построения целой можно попробовать взять g(z)=1-exp(z), тогда точка ветвления для $f(z)=(1-g(z)^n)^{1/n}=(1-(1-e^z)^n)^{1/n}$ вроде исчезает (exp(z) не равно 0).

[RIP]

Руст писал(а):

И разложим $f(z)=(1-z^n)^{1/n}$ в ряд, который сходится в единичном круге. Можно доказать, что на границе круга имеются только полюса.

На границе как раз полюсов не будет, будут только точки ветвления.

P.S. Легко показать, что уравнение $f^n(z)+g^n(z)=1$ при $n\geqslant3$ не имеет решений в целых непостоянных функциях.

[Руст]

RIP писал(а):

Руст писал(а):

И разложим $f(z)=(1-z^n)^{1/n}$ в ряд, который сходится в единичном круге. Можно доказать, что на границе круга имеются только полюса.

На границе как раз полюсов не будет, будут только точки ветвления.

P.S. Легко показать, что уравнение $f^n(z)+g^n(z)=1$ при $n\geqslant3$ не имеет решений в целых непостоянных функциях.

Вообще то и я сомневался в возможности решения в целых функциях. Привёл мысли вслух, как попытаться обойти ветвление.
Если на единичном круге ветвления с конечной группой монодромии (с конечным листом), то и их можно устранить с помощью двоякопериодических функций. Вначале отображаем круг на квадрат и точкам ветвления с n листами сопоставляем полюс соответствующего порядка. Можно выбрать двоякопериодические функции с любыми заданными полюсами с соответствующими кратностями.

[RIP]

Руст писал(а):

Вначале отображаем круг на квадрат

Проблема в том, что при этом отображении возникнут проблемы на границе.

[Руст]

Я не вижу проблем.
Конечно всё надо перевести на нормальный математический язык.

[RIP]

На самом деле, проблема в том, что надо, чтобы кратности всех корней уравнения $g(z)=\zeta^k$ для каждого $k=\overline{0,n-1}$ делились на $n$ ($\zeta=e^{\frac{2\pi i}n}$). По-моему, отбражение круга на квадрат здесь ни при чём.

[Руст]

Отображение круга в квадрат только для удобства продолжения, как двоякопериодичной функции.

[RIP]

Изначальная формулировка задачи была такая:
Доказать, что при $n\geqslant4$ уравнение $f^n(z)+g^n(z)=1$ не имеет решений в непостоянных мероморфных функциях.

[Руст]

А откуда задача?

[RIP]

С матлинкса.
http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=119070