Кольцо матриц над полем. Двусторонние идеалы

[Sngak]

Задача такова:
Необходимо доказать, что в кольце матриц $X$ над полем любой двусторонний идеал либо нулевой, либо совпадает со всем кольцом.
Полагаю, что стоит начинать с:
Предположим, что идеал не нулевой (иначе всё тривиально и равенства идеалов выполняются), тогда пусть $\exists a \ne 0 \in A$, где $A$ - идеал. Перемножим $a \cdot x$, где $x \in X$. Так как идеал должен быть подкольцом, то полученная матрица имеет сходное с $a$ строение. Однако перемножение матриц в общем случае не коммутативно, а идеал двусторонний, следовательно, в общем случае $x \cdot a \notin A$. И идеал - всё кольцо.
Верно?

[AV_77]

Как-то не очень...
Попробуйте с матричными единицами что-нибудь сделать.

[mkot]

Раз матрица $a \neq 0$, какой-то из её элементов не равен нулю. Зная как ведут себя матрицы при умножении матричные единицы $e_{ij}$ и транспозиции $t_{ij}$ попробуйте сконструировать произвольную матрицу из них и из $a$.

[bot]

(Оффтоп)

AV_77 в сообщении #572868 писал(а):

Как-то не очень...

Скорее очень не так.

[g______d]

Докажите, что такой идеал содержит все матрицы ранга 1.

[Sngak]

mkot в сообщении #572869 писал(а):

Раз матрица $a \neq 0$, какой-то из её элементов не равен нулю. Зная как ведут себя матрицы при умножении матричные единицы $e_{ij}$ и транспозиции $t_{ij}$ попробуйте сконструировать произвольную матрицу из них и из $a$.

Встретил на данном форуме и ещё в паре мест в интернете, дескать стоит использовать то, что для $X \ne 0 \in A \exists C, B \in R : CXB = E_{11} + ... + E_{kk}$.
Исходя из вашего сообщения имеет смысл перемножать $a \in A$ на транспозиции и матричные единицы до получения единичной матрицы?
Однако что даёт гарантии, что при перемножении (на транспозиции и матричные единицы) до получения единичной матрицы мы найдём такую матрицу, что не будет принадлежать идеалу?

[AV_77]

Sngak в сообщении #572967 писал(а):

Однако что даёт гарантии, что при перемножении (на транспозиции и матричные единицы) до получения единичной матрицы мы найдём такую матрицу, что не будет принадлежать идеалу?

Естественно, такую матрицу мы не найдем (все-таки у нас идеал). Но мы покажем, что любая матрица лежит в идеале.