Порядок в группе

[Unconnected]

Элементы какого порядка могут быть в $A_5$(подгруппа $S_5$, в которой только четные подстановки)?
Понятно, что подгруппа порождается всевозможными парами транспозиций. А что дальше?

[Slip]

а если разложить четную перестановку в произведение непересекающихся циклов, то как такое разложение может выглядеть?

[Unconnected]

Как произведение 2 или 4 транспозиций?

[Slip]

нет, транспозиции могут пересекаться. именно в произведение непересекающихся циклов(разной, вообще говоря, длины)

[Sonic86]

Можно просто явно указать некоторые четные подстановки для каждого порядка.

[Unconnected]

А, вроде понял.. максимальное произведение из непересекающихся циклов, длины 3 и 2. Тогда порядок будет... 7. Например, $(1 5 3)(2 4)$. Цикл длины 5 - порядок 5; длины 2 (или произведения таких) - порядок 3, 3 - 4. А вот четную перестановку из цикла длины 4 вообще не выходит придумать почему-то.

[Unconnected]

А нет, (1435) четная подстановка 5го порядка.

[bot]

Unconnected в сообщении #572768 писал(а):

А вот четную перестановку из цикла длины 4 вообще не выходит придумать почему-то

А может быть их и нет? Как связана чётность цикла с его длиной?

[Unconnected]

Цитата:

Как связана чётность цикла с его длиной?

Не знаю( Пока что кажется, что никак.
Элементы, которые цикл передвинет, можно перенумеровать, и каждый из них создаст или уничтожит сколько-то(>0) транспозиций, а дальше непонятно, много вариантов.

[bot]

Unconnected в сообщении #572836 писал(а):

Не знаю( Пока что кажется, что никак

Ну, тогда в порядке наводки перемножьте транспозиции:
1) $(14)(13)(15)=...$
2) $(12)(13)(14) \ldots (1n)= ...$

[Unconnected]

Цитата:

2) $(12)(13)(14) \ldots (1n)= ...$

Угу, это как раз и есть какой-то один цикл.. Возможно, четность (для этого случая, где все 1..n задействованы) будет равна числу $\frac{(1+n-1) \cdot n}{2}=\frac{n^{2}}{2}$. Если это так, то выяснить четность любого цикла в $A_5$ тоже понятно как..

[bot]

Если $n$ чётно, то $\frac{n^2}2$ тоже чётно и, в частности, при $n=2$ мы получаем, что транспозиция чётна? А если $n$ нечётно, то тогда ой.

Вы всё-таки перемножьте предложенное и начните с первого, хотя я его и добавил позже.

А ну ещё, конечно, раз уж пошла такая пьянка, хотелось бы всё-таки услышать, чётна или нечётна транспозиция, а также как чётность/нечётность произведения подстановок зависит от чётности/нечётности множителей.

[Unconnected]

Транспозиция сама по себе нечетна. И вроде как обязательно меняет четность любой подстановки при умножении. Мне всё чудится, что есть такая транспозиция, которая сохранит чётность, но пример не получается подобрать..
Произведение четных четно, нечетных тоже получается чётно, четную на нечетную нечетно. Тогда можно выяснить четность цикла по количеству множителей.. грустно, что доказать все эти штуки не выходит.

[Sonic86]

Unconnected, Вы умеете определять четность подстановки, записанной в виде $\binom{1 \ ... \ n}{i_1 \ ... \ i_n}$? Если умеете, то это могло бы Вам помочь сразу решить задачу.

[Unconnected]

Умею.. Ну тут факты поинтереснее нарисовались, они правильные (в моём предыдущем посте)?