Задача на применение производной(?)

[ZARATUSTRA]

Вот условие: периметр боковой грани правильной четырехугольной пирамиды равен 30. При какой длине стороны основания пирамиды ее объём будет наибольшим?
Обозначил сторону основания $ a $ , ребро $ x $ .
$ 2x + a = 30 $. $ V = \frac {1}{3} S h $ , где $ S $ - площаль основания, то бишь в нашем случаем $ a^2 , V = \frac {a^2 h}{3} $.
Выразил $ x =\frac{ 30 - a }{ 2} $ .
Нашёл $ h^2 = x^2 - (\frac{\sqrt 2 a }{ 2})^2 = \frac {900 + a^2 - 60a}{ 4} - \frac {2a^2}{4} $
$V = \frac {a^2}{3}\cdot \frac{\sqrt{900-a^2-60a}}{2}$
Теперь нужно найти производну $V'$ ?
Получается, что нужно искать как производную сложной функции? Тогда:
$ V'= \frac{4a}{9} \cdot \frac{\sqrt{900-a^2-60a}}{2} \cdot \frac{1}{4 \sqrt{900-a^2-60a}}$
Но тогда не получается, когда хочу найти производную в нуле: получается, что $a = 0$.
Я неправильно нашёл производную? Или может не так решаю?

[gris]

Я бы посоветовал проинтегрировать результат дифференцирования, чтобы убедиться в правильности произведённых случайных действий.

Высоту и объём нашли правильно, только записали некорректно. Надо $\left(\dfrac{\sqrt2 a}{2}\right)^2$

[Praded]

Неверно нашли $h$ .

[ZARATUSTRA]

gris в сообщении #572493 писал(а):

Я бы посоветовал проинтегрировать результат дифференцирования, чтобы убедиться в правильности произведённых случайных действий.

Высоту и объём нашли правильно, только записали некорректно. Надо $\left(\dfrac{\sqrt2 a}{2}\right)^2$

Исправил.
Производную скорее всего не так нашёл.
$V' = (\frac {a^2}{3})'\cdot \frac{\sqrt{900-a^2-60a}}{2}\cdot (\frac{\sqrt{900-a^2-60a}}{2})'$ Я искал так.
$(\frac{\sqrt{900-a^2-60a}}{2})'$ я находил по формуле $\sqrt x = \frac{1}{2\cdot \sqrt x}$ Или нужно было искать по формуле $\frac{u}{v} = \frac{u'v - v'u}{v^2}$ ?

Ответ к задаче: 10. Но у меня такой не получается.

[Praded]

Производная произведения равна...
А у вас совсем не то.

[ZARATUSTRA]

Praded в сообщении #572507 писал(а):

Производная произведения равна...
А у вас совсем не то.

Так я искал свою производную, как производную сложной функции. Или нужно было искать как простой?

[Praded]

$(uv)'=u'v+uv'$

[ZARATUSTRA]

Praded в сообщении #572510 писал(а):

$(uv)'=u'v+uv'$

Но ведь у меня функция сложная. Вот я и искал по формуле нахождения производной сложной функции. Не пойму, почему неправильно.

[gris]

Если Вы хотите искать по формуле сложной функции, то вначале занесите $a^2$ под корень. И вперёд. Только что-то я сомневаюсь, что Вы это правильно делаете.
В принципе, саму производную и не надо находить, надо найти только её ноль. То есть ноль её числителя.

[ZARATUSTRA]

gris в сообщении #572512 писал(а):

Если Вы хотите искать по формуле сложной функции, то вначале занесите $a^2$ под корень. И вперёд. Только что-то я сомневаюсь, что Вы это правильно делаете.

Так подскажите, как само рационально решать?
И есть ли другие способы, кроме производной(и подбора).

[gris]

Так я уж и подсказал. Занесите $a^2$ под корень. И продифференцируйте получившийся многочлен 6-ой степени. Надо, конечно, пояснить, почему можно не возиться с корнем. Дальше сократите и решите по Виету симпатишное квадратное уравнение. Получите Ваш корень. Интересно, что боковая грань будет равносторонним треугольником.
Но если Вы не чувствуете себя свободно в этих вопросах, то лучше делать всё честно и подробно.

[Praded]

У вас
$u=\dfrac{a^2}{3}$, $v=\dfrac{\sqrt{900-a^2-60a}}{2}$.
Далее по формуле производной произведения.

[ZARATUSTRA]

gris в сообщении #572517 писал(а):

Так я уж и подсказал. Занесите $a^2$ под корень. И продифференцируйте получившийся многочлен 6-ой степени. Надо, конечно, пояснить, почему можно не возиться с корнем. Дальше сократите и решите по Виету симпатишное квадратное уравнение. Получите Ваш корень. Интересно, что боковая грань будет равносторонним треугольником.
Но если Вы не чувствуете себя свободно в этих вопросах, то лучше делать всё честно и подробно.

Решил как-то: получились корни: $x_1=20, x_2=30$, но скорее всего неправильно.
Объясните, почему можно корень опустить, ибо, чтобы найти производную с корнем и без, нужны разные формулы и результат тоже получается разный. Как производная, считая с корнем, равносильна производной, которая высчитана без корня? Или вы имели ввиду, чтобы корень опустить тогда, когда уже нашли производную? Если так, то тогда понятно. Но еще непонятно, почему вы решили, что боковая грань будет равносторонним треугольником.

[miflin]

ZARATUSTRA в сообщении #572553 писал(а):

Объясните, почему можно корень опустить,

Вы ищете максимум положительной величины. Максимум квадрата этой
величины будет также достигаться при том же значении $a$.

[ZARATUSTRA]

Понятно, что будет равносторонним треугольником грань, если заранее знать ответ. Все-таки у меня ответы получается 20 по т. В,