Решить в натуральных числах

[nnosipov]

уравнение $x^5y-x^3-y^3+1=0$. Как всегда, интересны разные подходы. В частности, нет ли здесь случайной халявы.

[Arcanine]

Ввести замену y=tx. Получим квадратное, ну и что...

[nnosipov]

Arcanine в сообщении #567601 писал(а):

Ввести замену y=tx. Получим квадратное, ну и что...

Действительно, ну и что?

[nnosipov]

Случайно обнаружил, что здесь не просто халява, а целое море халявы Может, кто-нибудь это тоже заметит?

[nnosipov]

Чтобы проще было заметить, давайте упростим задачу и сформулируем её так.

Пусть $m$ и $n$ --- натуральные числа, $m>n$. Найдите все пары натуральных чисел $(x,y)$, для которых $x^my-x^n-y^3+1=0$.

Если и в таком виде не пойдёт ...

[mihiv]

Очевидное решение:$x=1,y=1$.Полностью решить не получилось,но если $m$-четное и $n-1<\frac m2$,то из уравнения следует:$x^my>y^3$ или $y<x^{\frac m2}$ и кроме того $x^my-x^{n-1}y<y^3$ или $y^2>x^m-x^{n-1}> x^m-x^{\frac m2}$,т.е. $y>x ^{\frac m2}-1$ и,следовательно не может быть целым.Т.е. других решений нет.

[nnosipov]

mihiv, спасибо, вполне содержательная идея. Но я имел в виду другое простое обстоятельство, которое, по-видимому, всё же не сразу бросается в глаза. Вот оно: если $y^3-1=x^n(x^{m-n}y-1)$, то $y^3-1$ делится на $ky-1$, где $k=x^{m-n}$. А мы можем найти все пары $(y,k)$ натуральных чисел, для которых эта делимость имеет место (это --- довольно старый и известный сюжет). Если бы я это сразу заметил, то и темы бы не было. Но не заметил.