Теория групп

[Naatikin]

Подскажите как решить задачу:
найти число элементов порядка $p^{k}$ в циклической группе порядка $p^{n}$, где р - простое, 0<k<n.
Насколько я понял есть циклическая группа, количество элементов $p^{n}$, надо найти число элементов, которые в степени $p^{k}$ равны е.
Есть предположение, что надо рассматривать функцию эйлера от $p^{n}$.

[Sonic86]

Нет, все еще проще. Сколько образующих у циклической группы? Опишите вообще группу - для каждых $p,n$| всего одна группа. Какое тогда необходимое и достаточное условие, чтобы элемент в степени $p^k$ был равен единице?

[Joker_vD]

Факт: Если $G=\langle a\rangle,\,|G|=m,$ то элемент $a^k$ имеет порядок $\frac{m}{(k,m)}$. Стало быть, если $m=dl$, то элементов порядка $l$ столько, сколько чисел $k$, $1\leqslant k\leqslant m$ удовлетворяют равенству $(k,m)=d$

Sonic86
Вообще-то ваш факт о числе образующих опирается как раз на тот факт, который пытается доказать ТС.

[ИСН]

ну вообще да, функция Эйлера некоторым образом там будет фигурировать, только не от того.

[Naatikin]

я правильно понял, что в $G=<a>$, порядок группы $p^{n}$, элемент $a^{z}$ имеет порядок $\frac{p^{n}}{NOD(z, p^{n})}$ и равен порядок $p^{k}$

[Naatikin]

и где мне использовать фнукцию эйлера?

[ИСН]

ну а сколько элементов имеют такой порядок?

[Joker_vD]

Ну вот же: вам надо посчитать, для скольки $z$ выполянется $(z,p^n)=p^{n-k}$. Ну, раз $p^{n-k}\mid z,$ то $z=p^{n-k}h$, где $1\leqslant h\leqslant p^k$, теперь подставляем это в первое равенство...

[Naatikin]

число образующих этой циклической группы - $ \varphi (p^{n}-1)$

-- 17.05.2012, 06:58 --

простите я не очень понял: подставили в равенство и получили $NOD(p^{n-k} \cdot h,p^{n} )=p^{n-k}$. можем поделить и тогда $NOD( h,p^{k} )=1$?

[Joker_vD]

Да. Ну и для скольки $h$ верно $(h,p^k)=1$?

[Naatikin]

нод равен 1, если $h$ и $p^{k}$ взаимнопростые, тогда нужно найти число элементов взаимнопростых с $p^{k}$, а это функция эйлера от $\varphi (p^{k}) = p^{k} - p^{k-1}$

[Joker_vD]

Вы молодец, все верно.

[Naatikin]

спасибо за помощь, задачу сдал