Доказать рациональность чисел

[larkova_alina]

Доказать
$\left (a,\; b, \; \sqrt{a}+\sqrt{b}\in \mathbb{Q}\right ) \Rightarrow \left (\sqrt{a},\;\sqrt{b}\in \mathbb{Q}\right )$.

$\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2=a+b+2\sqrt{a}\sqrt{b}\in\mathbb{Q} \Rightarrow$
$\Rightarrow \sqrt{a}\sqrt{b}\in\mathbb{Q}.$
Как дальше?

[Someone]

Обозначим $u=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ и $v=\sqrt{a}\sqrt{b}$. Здесь $u$ рационально по условию, рациональность $v$ Вы доказали. Теперь выразите $\sqrt{a}$ и $\sqrt{b}$ через $u$, $v$, $a$, $b$, которые все рациональны.

[Maslov]

Или разложите $a-b$ как разность квадратов.

[larkova_alina]

Someone, не могу сообразить как выразить =(

-- 16.05.2012, 15:57 --

$a-b = (\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})\in\mathbb{Q},$
$\sqrt{a}-\sqrt{b}=\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\in\mathbb{Q},$
$(\sqrt{a}-\sqrt{b})+(\sqrt{a}+\sqrt{b})=2\sqrt{a}\in\mathbb{Q},$
$\sqrt{a}\in\mathbb{Q}.$
Аналогично $\sqrt{b}\in\mathbb{Q}.$

[Someone]

larkova_alina в сообщении #571777 писал(а):

Someone, не могу сообразить как выразить

Что, никогда в жизни с системами уравнений не сталкивались?

[larkova_alina]

Someone, сталкивалась. Но все равно я не могу понять как выразить.

[RIP]

Как избавиться от корней? Возведением в квадрат, конечно. Только надо правильное равенство возводить. В данном случае можно это проделать с $u-\sqrt{\mathstrut a}=\sqrt{\mathstrut b}$, например.

А так, Вы уже почти всё сделали. Но Ваше док-во не проходит в случае $\sqrt{\mathstrut a}+\sqrt{\mathstrut b}=0$, который надо рассмотреть отдельно.

[Someone]

larkova_alina в сообщении #572191 писал(а):

Someone, сталкивалась. Но все равно я не могу понять как выразить.

"Сталкивались" - в смысле "видели, но никогда не решали"? Ну вот у Вас система уравнений:

$$\begin{cases}\sqrt{a}+\sqrt{b}=u,\\ \sqrt{a}\sqrt{b}=v\end{cases}$$

с неизвестными $\sqrt{a}$ и $\sqrt{b}$, и Вам надо её решить. Величины $u,v,a,b$ считаются "известными", операцией "$\sqrt{\phantom a}$" при решении пользоваться нельзя.
Как Вы обычно решаете подобные системы? Например,

$$\begin{cases}x+y=5,\\ xy=6.\end{cases}$$

[larkova_alina]

$(u-\sqrt{a})^2=\sqrt{b}^2,$
$u^2-2u\sqrt{a}+a=b.$
Пусть $u\neq 0.\;$ Тогда $\sqrt{a}=\frac{u^2+a-b}{2u}\in\mathbb{Q}.$ Аналогично с $\sqrt{b}.$
Теперь пусть $u=\sqrt{a}+\sqrt{b}=0.$ Так как $\sqrt{a}\geqslant 0$ и $\sqrt{b}\geqslant 0$, то $\sqrt{a}= 0$ и $\sqrt{b}= 0.$
То есть $\sqrt{a},\;\sqrt{b}\in\mathbb{Q}.$
Правильно?

-- 17.05.2012, 10:51 --

Someone, я поняла.
Систему решаем методом подстановки. Из второго уравнения выражаем, например, $\sqrt{a}$ и подставляем его в первое уравнение:
$\frac{v}{\sqrt{b}}+\sqrt{b}=u,$
$v+b=u\sqrt{b}$.
Пусть $u\neq 0$, тогда $\sqrt{b}=\frac{u+b}{u}\in\mathbb{Q}.$
Точно также с $\sqrt{b}.$
Если $u=0$, то $\sqrt{a}=0$ и $\sqrt{b}=0.$ То есть $\sqrt{a}\in\mathbb{Q}$ и $\sqrt{b}\in\mathbb{Q}.$