Непрерывные f,g из $X$ в хаусдорфово $Y$

[xmaister]

Пусть $f,g$- непрерывные отображения топологического пространства $X$ в хаудорфово $Y$. Получилось доказать, что множество $A=\{x|f(x)=g(x)\}$- замкнуто в $X$. Верно ли обратное? Т.е. для любого ли замкнутого множества $F\subset X$ существуют непрерывные функции $f,g$, такие что $F=\{x|f(x)=g(x)\}$?

[Профессор Снэйп]

Рассмотрите случай, когда $Y$ одноэлементно

[Someone]

И даже не обязательно одноэлементный.
Для ординала $\alpha$ обозначим $TW(\alpha)$ множество всех ординалов $<\alpha$ с топологией, порождённой порядком. Возьмём $ X=TW(\omega_0+1)\times TW(\omega_1+1)$ и $Y=[0,1]$. Тогда замкнутое множество $ F=TW(\omega_0+1)\times\{\omega_1\}$ не является в $X$ множеством типа $G_{\delta}$, поэтому нельзя найти требуемые непрерывные функции $f\colon X\to Y$ и $g\colon X\to Y$.

[Профессор Снэйп]

(Оффтоп)

Ох у эти ординалы! Всю ночь с ними мучился, так и не спал до сих пор...

Такой вопрос по ходу. Думал новую тему завести, но, наверное, здесь тоже спросить будет уместно.

Где можно почитать про иерархию Бореля? Так, чтоб для меня, то есть для человека, не шибко шарящего в теме, но с в общем-то неплохой математической культурой мышления. Чтобы с одной стороны не считались очевидными понятные специалистам, но по сути нетривиальные факты, а с другой стороны без лишней размазни и на достаточно приличном уровне.

[Someone]

Ну, не знаю, сам этим сроду не занимался. Это предмет дескриптивной теории множеств. Может быть, взять "Теорию множеств" Хаусдорфа?

Множества типа $G_{\delta}$ - это просто пересечения счётных последовательностей открытых множеств.