Диффур

[MrDindows]

$y''=-\frac{x}{y}$
Чё-то не соображу, как его решать. Вольфрам-альфа тоже не соображает=)

[Padawan]

Уравнение инвариантно относительно замены $x\mapsto \lambda^2 x, y\mapsto\lambda^3 y$, значит порядок по-крайней мере понизить можно :)
Попробуйте перейти к переменным $t=\frac{x^3}{y^2}, u=\frac{1}{3} \ln y$, $u=u(t)$.
У меня Maple преобразовал его к такому ужасу

$$162t^2u'^3-27tu'^2+18u'+27u''t+216u'^3t^3+108u'^2t^2+18u't+1=0$$

Однако, порядок понижается.

-- Вт май 15, 2012 01:58:58 --

(Вот такие команды, если кому надо)

> with(PDEtools);
> declare(y(x),prime=x);
> declare(u(t),prime=t);
> E:=diff(y(x),x$2)+x/y(x);
> tr:={t=x^3/(y(x))^2, u(t)=1/3*ln(y(x))};
> itr:={x=exp(2*u(t))*t^(1/3),y(x)=exp(3*u(t))};
> simplify(dchange(itr,E));

Может исходное уравнение еще какие-нибудь группы преобразований допускает. Тогда еще можно было бы понизить и полностью решить.

[MrDindows]

Padawan в сообщении #570991 писал(а):

Уравнение инвариантно относительно замены $x\mapsto \lambda^2 x, y\mapsto\lambda^3 y$, значит порядок по-крайней мере понизить можно :)
Попробуйте перейти к переменным $t=\frac{x^3}{y^2}, u=\frac{1}{3} \ln y$, $u=u(t)$.
У меня с Maple преобразовал его к такому ужасу

$$162t^2u'^3-27tu'^2+18u'+27u''t+216u'^3t^3+108u'^2t^2+18u't+1=0$$

Однако, порядок понижается.

Спасибо, всё же пожалуй в сборнике опечатка, так как даже ответ очевидно не подходит: $y=\frac{C_1^2}{2}\arcsin\frac{x}{C_1}+\frac{x}{2}\sqrt{C_1^2-x^2}+C_2$