группы подгруппы

[Java]

Народ, не пойму как делается это задание:

<(1 4),(1 3 4 2)>
Определить для заданной подгруппы H с S4:
а) элементы из H
б) левые смежные классы группы S4 по H
в) правые смежные классы группы S4 по H
г) является ли H нормальным делителем

а)1 и 4 да?
б) что такое классы? И как их находить?

[Capella]

Java писал(а):

Народ, не пойму как делается это задание:

<(1 4),(1 3 4 2)>
Определить для заданной подгруппы H с S4:
а) элементы из H
б) левые смежные классы группы S4 по H
в) правые смежные классы группы S4 по H
г) является ли H нормальным делителем

а)1 и 4 да?
б) что такое классы? И как их находить?

Давайте так, я Вам подскажу идею, а Вы попытаетесь сами решить. Значит группа всех перестановок $ S_4 = {1,2,3,4}$ Берёте все возможные перестановки этой группы, Вы там увидите, что 2 из них будут образовывать вашу подгруппу Н.
Надо немножко будет поработать ручками и испасать наверное пару листов, но это не страшно.
Далее Вы смотрите следующие правила:
$ aH = { ah|h \in H } \subset S_4$
$ Ha = { ha|h \in H } \subset S_4$
*а да, это собственно и есть определение для Ваших классов)

Здесь наступает момент, из-за которого я не хочу писать всё решение полностью, т.к. здесь Вы будут просто выполнять механическаую работу по подстановке всех Ваших перестановок $ S_4$ с подстановками из $ H $ и смотреть, являются ли они элементами $ S_4$. Тоже самое по второй формуле вля правосторонних.
Ну а для нормального делителя проверьте следующие теоремы:
$ aHa^-1 \subset H, a \in S_4$
$ aH = Ha, a \in S_4$

[Java]

Цитата:

Берёте все возможные перестановки этой группы, Вы там увидите, что 2 из них будут образовывать вашу подгруппу Н.

Я не понял как можно из четырёх элементов сделать перестановку равносильную из двух?
может (1 2 3 4) и (4 3 2 1) ? Что-то не то получается или надо из двух составить? тогда
(1 4) и (4 1) так?

[Capella]

Java писал(а):

Цитата:

Берёте все возможные перестановки этой группы, Вы там увидите, что 2 из них будут образовывать вашу подгруппу Н.

Я не понял как можно из четырёх элементов сделать перестановку равносильную из двух?
может (1 2 3 4) и (4 3 2 1) ? Что-то не то получается или надо из двух составить? тогда
(1 4) и (4 1) так?

Перестановка из 2 элементов в группе из 4 означает, что 2 элемента будут отображенны просто сами на себя. Пример для Ваших 1, 4:
1 -> 4
2 -> 2
3 -> 3
4 -> 1

PS Вы ещё бы заглянули в свою личку, я Вам там дала ссылку на очень хорошую (с моей точки зрения) книгу, прочитав которую, Вы поймёте суть проблемы. Она небольшая.

[Java]

АГА! Я просёк в чём фишка, значит подгруппами будут (1 2) и (1 4)

[Java]

а что знчит h? Знак I это что такое? Спасибо, конечно, за помощь,но что-то я ничего не понимаю

[LynxGAV]

Так откройте книгу по теории групп и почитайте . Могу поспорить, это будет первая глава .

[Java]

Я достал книжку по группам. И чувсвую себя как.. помните "следствие ведут колобки" когда они слона искали из зоопарка;)) так вот там фраза была "Ниииичё не понимаю".

Обьясните

где у меня группа? (1 3 4 2) ? Тогда как понять "для заданной подгруппы определить элементы из группы? 1 и 4. Зачем составлять комбинации?

[Capella]

$ S_n := Sym(n) $ симметричная группа с индексом n (собственно определяет порядок группы). $ Sym(X) $ множество биективных отображений (ПЕРЕСТАНОВОК) $ f: X \to X $. $ \left\{ 1 3 4 2 \right\} $ является элементом группы (какой-то единичной, т.е. конкретной перестановкой). Но никак не самой группой. Сама группа состоит из всех перестановок 4 элементов.

[Java]

ответьте пожалуйста на пару вопросов.
а) 1 и 4 я правильно нашёл?
б) как считать aH? {(1 3 4 2),(4 12 16 8)} так?
в)тогда чем отличается aH и Ha? Ведь h бегает и там и там!

[Capella]

Java писал(а):

ответьте пожалуйста на пару вопросов.
а) 1 и 4 я правильно нашёл?
б) как считать aH? {(1 3 4 2),(4 12 16 8)} так?
в)тогда чем отличается aH и Ha? Ведь h бегает и там и там!

Да нет, не правильно. Откуда взялись 12, 16??? У Вас группа состоит из 4 (!!!) элементов, их перестановки интерессуют Вас. Как Вы попали на 16?? Это-же циклическии перестановки, там 5 отображается на 1, нету 5 как таковой! Настоятельно рекомендую Вам, прочесть вторую главу кники Александрова "Введение в теорию групп" - "Группы Подстановок". Так-же прочтитие 8 главу "Разбиение группы на классы по данной подгруппе. Факторгруппа". А вообще, ещё лучше, прочтите всю книгу! Не обижайтесь только, я не могу Вам объяснить сейчас здесь то, что написано на 20 листах
Вот как раз в) очень хорошо описано в 8 главе! - они не коммутируют!!

[Java]

Тогда последний вопрос.

<(1 4) (1 3 4 2)> Что это такое? Группа S4 должна состоять из 4 элементов. (1 3 4 2) это группа, тогда что такое (1 4) и зачем оно нужно???

ЗЫ: От ваших обьяснений я вообще всё перепутал и уже самневаюсь сколько будет два на два...

[Capella]

Java писал(а):

Тогда последний вопрос.

<(1 4) (1 3 4 2)> Что это такое? Группа S4 должна состоять из 4 элементов. (1 3 4 2) это группа, тогда что такое (1 4) и зачем оно нужно???

Ваша группа состоит из всех перестановок 4 элементов между собой. $ H $ это Ваша подгруппа, которая состоит всего из 2 перестановок 4 элементов (здесь Вы, правда, можете разложить

$$ \left\{ 1 2 3 4 \right\} = \left\{ 1 4 \right\} \left\{ 1 3 \right\} \left\{ 1 2 \right\} $$

. Дальше Вам надо сделать то, о чём я уже писала: Вам надо рассписать все возможные перестановки группы $ S_4 $. Далее Вы читаете главу 8, там написано, как сопрягать перестановки элементов двух групп (подсказка: поочерёдно провести их) и далее Вы смотрите, лежит ли получившаяся перестановка снова в $ S_4 $. Это и есть quinta essentia всего задания. Всё что Вам надо, поочерёдно провести все перестановки

[LynxGAV]

Симметричная группа степени $n$ $S_n$ (группа перестановок $n$ объектов).
Пример $S_3$: три идентичных объекта: шесть возможных перестановок, а именно:
$ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ \end{array} \right) $, $ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ \end{array} \right) $, $ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \\ \end{array} \right)$, $ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end{array} \right) $, $ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \\ \end{array} \right) $, $ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \\ \end{array} \right) $
$1$, $2$, $3$ - положения трех объектов, но не сами объекты. Эти шесть перестановок образуют группу.

Для $S_4$ cообразите сами!

Добавка: Генераторами группы группы $S_4$ являются $(12)$, $(13)$ и $(14)$, где $ (12) = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4\\ 2 & 1 & 3 & 4 \\ \end{array} \right) $, etc.

PS Дико извиняюсь за обозначения. Такими пользуются в квантовой механике идентичных частиц.

[Dan_Te]

Java, судя по вашим постам, вы не то что не читали книгу, вы ее даже не открывали. Давайте вы все-таки это сделаете, потому что если вы не знаете, что такое группа перестановок и из чего она состоит, то объяснять вам что-либо бесполезно.