Разность кубов и сумма квадратов

[Gordmit]

Пусть квадрат некоторого натурального числа $n$ представляется в виде разности кубов двух последовательных натуральных чисел: $n^2=(m+1)^3-m^3$. Докажите, что это число $n$ представимо в виде суммы квадратов некоторых двух последовательных натуральных чисел: $n=(x+1)^2+x^2$.

[heap]

$(2n-1)(2n+1)=3(2m+1)^2$
Поскольку $(2n-1,2n+1)=1$ , то есть только 2 варианта:
1) $2n-1 = 3K^2 , 2n+1 = L^2$;
либо
2) $2n-1 = K^2 , 2n+1 =3L^2$;
Но в первом случае $L^2=3K^2 + 2$ , что невозможно.
Поэтому $2n-1 = K^2$ и $x=\frac {K-1} 2$