Найти временную часть волновой функции

[phys]

(Оффтоп)

- Уважаемые знатоки, время вышло, кто отвечает?
- На вопрос отвечает господин Munin

Задача: "... в некоторый момент времени волновая функция частицы в одномерной потенциальной бесконечно глубокой ямы имеет вид $\psi = \dots$, найти вероятность нахождения в первом возбужденном состоянии, найти $\Psi (x,t)$"

Константу нашел, в ряд разложил, еще одну константу нашел, вероятность нашел.
Как найти $\Psi (x,t)$?

При выводе уравнений было использовано допущение $\Psi(x,t) = \psi (x) \varphi (t)$, и для $\varphi (t)$ получено уравнение:

$$\varphi = \varphi_0 \exp(-i\frac{E}{h}t)$$

Нестационарные задачи мы не рассматривали вовсе, но то что приходит в голову (может быть, это не очень хорошая идея), подставить энергетический спектр $E = E_0 n^2$ в выражение для $\varphi$ и перемножить найденную координатную часть и $\varphi = \varphi_0\exp(-i\frac{E_0}{h}n^2t) $,
получив:

$$\Psi(x,t) = \psi(x) \exp(-i\frac{E_0}{h}n^2t)$$

Тогда вопрос, что делать с $\varphi_0$, выше оно равно единице.

[Taus]

Для решения не стационарной задачи, нужно знать начальные условия. Но в данном случае, как я понимаю, они очень простые: частица просто находится в первом возбуждённом состоянии.

[phys]

Начальное условие - волновая частица в состоянии, описываемом следующей волновой функцией:

$$\psi(x) = A\left( \sin\frac{\pi x}{a} + \sin^2\frac{\pi x}{a} \right)$$

Вероятность того что она в первом возбужденном состоянии - 31.7%

[Taus]

Тогда эту функцию раскладываем в ряд Фурье по собственным функциям стационарной задачи. И пишем ответ в виде ряда (или конечной суммы).

[phys]

Я это сделал когда искал первый коэфф. в этом разложении. Его квадрат будет равен вероятности нахождения частицы в первом возбужденном состоянии.

Разложение в ряд будет выглядить как:

$$ \psi = C_1 \psi_1 + C_3 \psi_3 + ... + C_{2n-1}\psi_{2n-1} + ... $$

где $C_n = \dfrac{8}{(4n-n^3)\sqrt{\pi(\pi + 4)}}$; а $\psi_n = \sqrt{\dfrac{2}{a}}\sin^2\dfrac{\pi x n}{a}$; где $n$ - нечетное.

Однако это разложение в ряд координатной части, а мне нужно получить $\Psi(x, \mathbf{t})$

[Taus]

Так в общем виде ряд выглядит $\Psi(x,t) = \sum\limits_n C_n\Phi_n(x)e^{-i E_n t/ \hbar}$. Поэтому домножьте все ваши коэффициенты на соответствующие экспоненты и получите ответ.

[Munin]

phys в сообщении #564267 писал(а):

При выводе уравнений было использовано допущение $\Psi(x,t) = \psi (x) \varphi (t)$

Оно годится только для собственных колебаний, а в общем случае (суперпозиция собственных колебаний) требуется более общее допущение, которое вам уже и написали:
$\displaystyle\Psi(x,t)=\sum_n\psi_n(x)\varphi_n(t).$

phys в сообщении #564267 писал(а):

- На вопрос отвечает господин Munin

Извинитя, не успел.

phys в сообщении #564267 писал(а):

Нестационарные задачи мы не рассматривали вовсе

Для нестационарных задач есть несколько подходов, которые в моём представлении распадаются на три класса идей:
- разложение по собственным колебаниям, метод Фурье.
- разложение по бегущим волнам, решение Д'Аламбера, метод характеристик, или метод Римана.
- разложение по откликам на "единичные" импульсы, метод характеристической функции и функции Грина.
Ознакомиться с ними лучше всего по учебникам по "уравнениям математической физики", причём не откладывая. Достаточно пока уловить общую идею, оставляя детали до того момента, когда займётесь ими более плотно. Владимиров, Тихонов-Самарский, Морс-Фешбах, Кошляков-Глинер - стандартные рекомендации. Справочники Полянина и Зайцева.

[DiankaBMSTU]

А можно поподробнее решение этой задачи?

[phys]

Можно.

(Оффтоп)

(см. ЛС)