Полярное разложение матрицы

[not_not_not_0]

Помогите, вроде всё делаю по алгоритму, но ответ получается неверный:
Условие: построить полярное разложение матрицы $A = QV$, где $Q$ - ортогональная, а $V$ - симметричная неотрицательно-определённая, при
$ A = \begin{pmatrix} 7 & 7 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} $
Моё решение:
1) $A^{T} = \begin{pmatrix} 7 & 1 \\ 7 & 1 \end{pmatrix} A^{T}A = \begin{pmatrix} 7 & 1 \\ 7 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 7 & 7 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 50 & 50 \\ 50 & 50 \end{pmatrix} $
Собственные значения: $\lambda_{1} = 0, \lambda_{2} = 100$
Из чего следует: $V'^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 100 \end{pmatrix} \rightarrow V' = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 10 \end{pmatrix}$
2) Находим $V$ в базисе собственных векторов: $V'$. Она будет иметь диагональный вид. От выбора собственных векторов ничего зависеть не должно, поэтому берём произвольные.
$A^{T}A \sim \begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix} \rightarrow \vec{e}_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} $A^{T}A - 100E \sim \begin{pmatrix} -1 & 1 \end{pmatrix} \rightarrow \vec{e}_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} $
3) По матрице перехода восстанавливаем $V$ в исходном базисе
$S = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, S^{-1} = S V = S V' S^{-1} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 10 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & 10 \\ 0 & 10 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & 5 \\ -5 & 5 \end{pmatrix}$
...которая не является ни симметричной, ни неотрицательно-определённой.
Что я делаю не так?

[bot]

А с какого перепугу у Вас $S^{-1}=S$?

[not_not_not_0]

Ой...
Вопрос снят