2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Операторный метод вычисления переходных процессов в ЛЭЦ
Сообщение02.05.2011, 00:17 


18/04/11
13
Выполняю контрольную по теории электрических цепей, но решение уж как-то очень разнится с тем, что приведено в методичке. Нужна помощь.

Вот задание:
Изображение
Ключ К1 должен быть разомкнут. Коммутация происходит путём переключения ключа К2 из положения 1 в положение 2. Операторным методом расчитать переходные процессы.
E=125 В w=10000 рад/с
R1=77 Ом R2=40 Ом R3=32 Ом
L=31 мГн С=0,67 мкФ
Расчёт переходных процессов операторным методом основан на использовании преобразования Лапласа.
До коммутации в цепи был включён источник постоянного напряжения. На постоянном токе индуктивность обладает нулевым сопротивлением, а ёмкость бесконечно большим. В эквивалентной схеме цепи для расчёта независимых начальных условий реактивные элементы заменяются на короткое замыкание и обрыв:
Изображение
ток в цепи с индуктивностью определится выражением
$i_1(0-)=\frac {E} {r_1+r_2}=\frac {125} {77+40}=1,068$
напряжение на ёмкости
$u_C(0_)=i_1(0-)r_1=1,068\cdot77=82,236$
Согласно законам коммутации, ток в индуктивности и напряжение на ёмкости не могут измениться скачком
$i_1(0-)=i_1(0+)=1,068$
$u_c(0-)=u_c(0+)=82,236$
При составлении операторной схемы замещения все элементы цепи замещаются их операторными эквивалентами. Индуктивность замещается операторным индуктивным сопротивлением pL, ёмкость -- операторным ёмкостным сопротивлением $\frac {1} {pC}$, активное сопротивление не изменяется. Ненелувые начальные условия учитываются в цепях с индуктивностью и ёмкостью дополнительными источниками ЭДС:
Изображение
Для расчёта операторной схемы я применю метод контурных токов.
Вот уравнения, описывающие цепь по методу контурных токов:
$(pL+r_1+r_2)J_1(p)+r_2J_2(p)=Li_1(0+)$
$r_2J_2(p)+(\frac {1} {pC}+r_3+r_2)J_2(p)=\frac {-u_C(0+)} {p}$
определители системы:
$\bigtriangleup=\begin{vmatrix} r_1+r_2+pL & r_2 \\ r_2 & r_2+r_3+\frac {1} {pC} \end{vmatrix}=(r_1+r_2+pL)(r_2+r_3+\frac {1} {pC})-r_2^2$
$\bigtriangleup_{J_1}=\begin{vmatrix} Li_1(0+) & r_2 \\ \frac {-u_C(0+)} {p} & r_2+r_3+\frac {1} {pC} \end{vmatrix}=(r_2+r_3+\frac {1} {pC})Li_1(0+)+r_2\frac {u_C(0+)} {p}$
$\bigtriangleup_{J_2}=\begin{vmatrix} r_1+r_2+pL & Li_1(0+) \\ r_2 & \frac {-u_C(0+)} {p} \end{vmatrix}=-((r_1+r_2+pL)\frac {u_C(0+)} {p}+r_2Li_1(0+))$
$J_1(p)=\frac {\bigtriangleup_{J_1}} {\bigtriangleup}=\frac {(r_2+r_3+\frac {1} {pC})Li_1(0+)+r_2\frac {u_C(0+)} {p}} {(r_1+r_2+pL)(r_2+r_3+\frac {1} {pC})-r_2^2}=$
$=\frac {pi_1(0+)+\frac {i_1(0+)} {C(r_2+r_3)}+\frac {r_2u_C(0+)} {L(r_2+r_3)}} {p^2+p(\frac {r_1+r_2} {L}-\frac {r^2_2} {L(r_2+r_3)}+\frac {1} {C(r_2+r_3)})+\frac {r_1+r_2} {CL(r_2+r_3)}}=$
$=\frac {1,068p+23613,067} {p^2+23787,033p+78237843,04}$
$J_2(p)=\frac {\bigtriangleup_{J_2}} {\bigtriangleup}=-\frac {(r_1+r_2+pL)\frac {u_C(0+)} {p}+r_2Li_1(0+)} {(r_1+r_2+pL)(r_2+r_3+\frac {1} {pC})-r_2^2}=$
$=-\frac {p\frac {u_C(0+)+r_2i_1(0+)} {r_2+r_3}+\frac {(r_1+r_2)u_C(0+)} {L(r_2+r_3)}} {p^2+p(\frac {1} {C(r_2+r_3)}+\frac {r_1+r_2} {L}-\frac {r_2^2} {L(r_2+r_3)})+\frac {r_1+r_2} {CL(r_2+r_3)}}=$
$=-\frac {p1,736+4310,758} {p^2+p23786,997+78237843,04}$
Ёмкость на операторной схеме замещения цепи озображается операторным сопротивлением и источником ЭДС, учитывающим ненулевые начальные условия.
Выражение для операторного напряжения на ёмкости
$U_C(p)=\frac {u_C(0+)} {p}+\frac {1} {pC}J_2(p)$
после подстановки
$U_C(p)=\frac {82,236} {p}-\frac {p2590298+6433967261} {p(r^2+p23786,997+78237843,04)}$
Для перехода от найденых операторных изображений токов и напряжений к оригиналам воспользуюсь теоремой разложения.
Оригинал находится по выражению
$f(t)=\sum_{k=1}^{n}{\frac {F_1(p_k)} {F_2'(p_k)}e^{p_kt}}$
для тока в индуктивности $i_1(t)$
$F_1(p)=1,068p+23613,067$
$F_2(p)=p^2+23786,997p+78237843,04$
$F_2'(p)=2p+23786,997$
нахожу корни характеристического уравнения
$p^2+23786,997p+78237843,04=0$
$p_1=-3942,549$
$p_2=-39688,969$
$i_1(t)=\frac {F_1(p_1)} {F_2'(p_1)}e^{p_1t}+\frac {F_1(p_2)} {F_2'(p_2)}e^{p_2t}=$
$=1,22e^{-3942,549t}-0,182e^{-39688,969}$
Переходное напряжение на ёмкости вычисляю используя изображение $U_C(p)$ и свойство линейности преобразования Лапласа:
Сумме изображений $U_C(p)=U_1(p)+U_2(p)$ будет соответствовать сумма оригиналов $u_c(t)=u_1(t)+u_2(t)$
$U_1(p)=\frac {82,236} {p}$
$U_2(p)=-\frac {2590298,507p+6433967261} {p(p^2+23786,997p+87237843,04)}$
изображению $U_1(p)$ в области оригиналов соответствует константа $u_1(t)=82,236$
оригинал $u_2(t)$ определяю, используя теорему разложения. Характеристическое уравнение $F_2(p)=0$ имеет три корня:
$p_1=0, p_2=-3942,549, p_3=-39688,969$
$u_2(t)=-\frac {F_1(p_1)} {F_2'(p_1)}e^{p_1t}-\frac {F_1(p_2)} {F_2'(p_2)}e^{p_2t}-\frac {F_1(p_3)} {F_2'(p_3)}e^{p_3t}$
верно? в этом случае минусы будут?
$u_2(t)=-82,236-60,267e^{-3943t}+33,053e^{-39689t}$
$u_c(t)=33,053e^{-39689t}-60,267e^{-3943t}$
Длительность переходного процесса равна трём постоянным времени:
$\tau=\frac {1} {|p|_{min}}=\frac {1} {3943}=0,254\cdot10^{-3}$
$t_{nn}=3\tau=3\cdot0,254\cdot10^{-3}=0,761\cdot10^{-3}$
Дальше строю соответствующие графики, но это уже не касается решения.
Видимо, я допустила в решении серьёзные ошибки, так как ожидала, что ток и напряжение будут в результате синусоидальными.
Помогите, пожалуйста, разобраться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Операторный метод вычисления переходных процессов в ЛЭЦ
Сообщение04.05.2011, 15:29 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3788
Бурашево
1. Минусы будут.
2. Ток и напряжение тут могут быть не синусоидальными, а квазигармоническими, то есть соответствующими закону $e^{-\frac {t}{\tau}}cos(\omega_0t+\phi)$. Произойдёт это тогда, когда характеристическое уравнение цепи будет иметь два комплексно-сопряжённых корня. Судя по вашим расчётам это не имеет место и переходной процесс является апериодическим.
3. В послекоммутационной схеме не должено быть источника $E$
4. Проверьте себя ещё разок: также как и в классическом методе разорвите послекоммутационную цепь в любой точке, составьте характеристическое уравнение. Его корни должны совпасть с вашими -3943 и -39689.
5. Характеристическое уравнение у цепи бывает только одно, поэтому тут
Merkader в сообщении #440753 писал(а):
Характеристическое уравнение $F_2(p)=0$ имеет три корня:
$p_1=0, p_2=-3942,549, p_3=-39688,969$
Корректнее писать: "уравнение $F_2(p)=0$ имеет три корня:$p_1=0, p_2=-3942,549, p_3=-39688,969$"

 Профиль  
                  
 
 Re: Операторный метод вычисления переходных процессов в ЛЭЦ
Сообщение12.05.2012, 20:41 


06/03/12

2
//вырезано//

 !  Парджеттер:
Автор забанен за спам

 Профиль  
                  
 
 Re: Операторный метод вычисления переходных процессов в ЛЭЦ
Сообщение12.05.2012, 21:50 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3788
Бурашево
Торгующие в храме?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: photon, profrotter, Парджеттер, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group