Число с суммой цифр n, делящееся на n

[Ktina]

а) Доказать, что для каждого натурального $n$ существует натуральное $m$, кратное $n$, сумма десятичных цифр которого равна $n$.

б) Доказать аналогичное утверждение для произвольной позиционной системы счисления с натуральным основанием $b>1$.

[hippie]

Сначала случай $\text{НОД}(n,b)=1.$
По принципу Дирихле найдутся $k$ и $l$ ($k>l$) такие, что $b^k\equiv b^l (\mod n).$ Тогда $b^{(k-l)}\equiv 1 (\mod n)$ и $m=\sum\limits_{j=0}^{n-1}b^{j(k-l)}$ — искомое число.

Пусть теперь $n=pq,$ где $\text{НОД}(n,p)=1$ и $q$ такое, что при некотором $r$ число $b^r$ кратно $q.$
Для $p,$ как и в первом случае, найдётся $k-l,$ такое, что $b^{(k-l)}\equiv 1 (\mod p).$ А искомое число имеет вид $m=b^r \sum\limits_{j=0}^{n-1}b^{j(k-l)}.$