Фазовые переходы. N частиц на одной прямой.

[dasalam]

В Ландау Л.Д., Арнольд В.И., Дубровин Б.А. и др. Задачи по физике после окончания 3-го курса
(http://www.fpff.ru/sites/default/files/phys_teormin.pdf) есть вот такая задача (фазовые переходы 5.1)

Потенциал взаимодействия N частиц, расположенных на одной прямой, выражается в виде функции только от взаимного расстояния между частицами. Считать систему классической. Доказать, что в том случае, когда учитывается взаимодействие только между соседними частицами, связь между давлением и объемом (расстояние между крайними частицами L) может быть описано простой однозначной функцией, и поэтому не будет происхожить никаких особых явлений, соответствующих фазовому переходу. Порядок расположения частиц вдоль прямой линии предполагается неизвестным.

Подскажите, как решать или где можно посмотреть решение.

[Dolopihtis]

dasalam в сообщении #569624 писал(а):

В Ландау Л.Д., Арнольд В.И., Дубровин Б.А. и др. Задачи по физике после окончания 3-го курса
(http://www.fpff.ru/sites/default/files/phys_teormin.pdf) есть вот такая задача (фазовые переходы 5.1)

Потенциал взаимодействия N частиц, расположенных на одной прямой, выражается в виде функции только от взаимного расстояния между частицами. Считать систему классической. Доказать, что в том случае, когда учитывается взаимодействие только между соседними частицами, связь между давлением и объемом (расстояние между крайними частицами L) может быть описано простой однозначной функцией, и поэтому не будет происхожить никаких особых явлений, соответствующих фазовому переходу. Порядок расположения частиц вдоль прямой линии предполагается неизвестным.

Подскажите, как решать или где можно посмотреть решение.

Попробуйте поискать "одномерная модель Изинга". Там рассматривается зависимость намагниченности от температуры для одномерной цепочки спинов, каждый из которых взаимодействует только с соседним. В итоге доказывается, что фазового перехода в этой модели не будет, т.е не возникает явление ферромагнетизма.

[Munin]

В порядке бреда, а не наезда на Ландау.

Рассмотрим классическую систему, в которой все частицы связаны каждая только с соседними (не геометрически соседними, а по номеру - все частицы пронумерованы), и потенциал имеет вид, как для двух точек, связанных пружиной конечной длины:

$$\left\{\begin{array}{ll} U(x_1,x_2)=\tfrac{k}{2}(x_2-x_1-l_0)^2 & \quad\quad x_2>x_1\\ U(x_1,x_2)=\tfrac{k}{2}(x_1-x_2-l_0)^2 & \quad\quad x_2<x_1 \end{array}\right.$$

$$\Leftrightarrow\quad\quad U(x_1,x_2)=\tfrac{k}{2}(\lvert x_2-x_1\rvert-l_0)^2,$$

или с каким-нибудь сглаживанием около нуля.

Начнём сжимать эту систему с концов. В какой-то момент частицы начнут перескакивать одна через другую, "инвертируя" направление цепочки пружинок на каких-то участках. Таким образом, одному набору параметров состояния (объёму) будет соответствовать несколько вариантов функций состояния (давление, энергия), а перескоки между ними можно будет интерпретировать как фазовые переходы.

Объясните, где мои заблуждения и ошибки.

[Dolopihtis]

Автор темы допустил ошибку при наборе текста . В формулировке задачи (см. ссылку) "Порядок расположения частиц вдоль прямой линии предполагается неизменным"

[Munin]

А. Тогда да. Хотя можно такие же гадости изобрести и не в точке $x_1=x_2,$ тогда даже оговорка про порядок не спасает.

[druggist]

Скорее всего, надо действовать в духе идеи о невозможности существования фаз в одномерных системах(ЛЛV "Статистическая Механика". Часть 1, §162)