Вопрос по записи производной и месте dx

[3DRaven]

Здравствуйте. Меня давно беспокоит вопрос, который нужно когда то здать :)
Вопрос по записи производных и смысле записи $dx$.
Вот есть запись $d(\sin(x))/dx=\cos(x)$
Далее в простейшем примере нахождения интеграла методом подстановки,
есть такое "$\sin(x)$ это будет $t$ , тогда $\cos(x)dx = dt$ "
Выходит, что первая запись может быть записана так
$d(\sin(x))=\cos(x)dx$ и это будет равнозначно $d(\sin(x))/dx=\cos(x)$
Получается, что $dx$ это свободная, самостоятельна часть уранения,
означающая "бесконечно малое изменение $x$". Если словами записать
данное уравнение, выйдет так:
Отношнеие бесконечно малого изменения (БМИ) функции $\sin(x)$ к БМИ $x$, равно $\cos(x)$
и будет так же верно
БМИ функции $\sin(x)$ равно произведению $\cos(x)$ и бесконечно малого изменения x.

В то же время я всегда думал, что $d(\sin(x))/dx$ разъединять нельзя, так как $dx$ ясно показывает,
что именно изменяется в данном случае из аргументов функции. Или может быть есть случаи когда нельзя, а когда можно? Тут же находится вопрос о производных высшего порядка. Например запись:
$d^nf(x)/dx^n$ Показывает нам производную высшего порядка. Зачем писать $n в числителе и занаменателе, для того что бы позже иметь возможность разделить их как в вышеприведенном примере с интегрированием подстановкой? Тогда $dx^n$ означает БМИ $x^n...или это есть БМИ $x$ возведенного в степень $n$?
В общем...разъясните пожалуйста,
я чувствую в данном вопросе неуверенность. Заранее спасибо.

[3DRaven]

Стоило задать вопрос и я успокоился :)
Для самопроверки...если неверно меня поправят.
$d(\sin(x))/dx=\cos(x)$ Тут мы имеем запись, утвердающую, что отношение бесконечно малых дает нам первую производную (скорость) изменения функции.
Если взять скорость-производную $\cos(x)$ и умножить на бесконечно малое приращение $dx$, аргумента. Мы получим значение соответствующего изменения первообразной. То есть $\cos(x)dx = d(\sin(x))$.
При этом само $d(\sin(x))$ содержит в себе $dx$...то есть бесконечно малое приращение аргумента...там ведь предел с $\Delta х$. Но при этом запись $d(\sin(x))dx$ это только просто произведение бесконечно малых величин, изменения функции и изменения аргумента.
То есть символ $d$ значит просто "бесконечно малое изменение"...что мне и требовалось понять. При этом вопрос по производным высшего порядка остается открытым. Запись $d^nf(x)/dx^n$ мне непонятна. Запись $d^nf(x)$ это возведение в степень изменения...как там предел выглядит? $x^n$ это степень как тут предел выглядит? Заранее спасибо за ответ.

[AKM]

В дополнение к собственным выводам предлагаю посмотреть, например, это сообщение ewert'а.

3DRaven в сообщении #569568 писал(а):

Запись $d^nf(x)/dx^n$ мне непонятна.

А $dx^n$ означает $(dx)^n$.

[3DRaven]

Спасибо за ссылку! Оказывается не один я такой...когда учили, ничерта не объясняли...вот мучаюсь теперь. Ссылка многое прояснила.

Но возникли еще вопросы:
1. Есть уравнение $Q=CU$ - это заряд конденсатора.
Ток через конденсатор зависит от скорости изменения напряжения со временем...но не суть.
Что бы получить уравнение тока, продифференцируем заряд и получим: $I = C\cdot dU/dt$...это из книжки...и в принципе "пользуся на здоровье".
Но если "раскрыть":$dU(t) = U'(t)dt$. Выходит, что $I = C\cdot U'(t)$
Верно? Получается $dU/dt$ это только способ записи обычной производной,
позволяющий точно указать, по какому именно параметру мы ее ищем и все?
2. Выходит пугающее меня в текстах $d/dx$ вообще без всякой функции это тоже просто операция взятия производной, просто вообще ни к какому уравнению не привязанная...а как это так вообще...по ссылке сказали $d$ просто значек в такой записи...ну так зачем его писать, если "просто"...или все же просто не просто и после этого значка идет такое обычно $d/dx f(x)$ и $d/dx$ нельзя разрывать с $f(x)$ это именно цельный символ и ничем он не отличается от $df(x)/dx$?
3. Тут я подробно распишу...что бы до меня доперло и ошибки были видны. Вот есть у нас $I = C\cdot dU/dt$ и решили мы опять заряд получить. Надо проинтегрировать это диф. уравнение и получить первообразную. Интеграл состоит из двух частей. Из $\int$ и из $dt$ вместе будет ($\int$ функция $dt$) как цельный оператор. Интеграл будет у нас $\int I = \int C\cdot dU/dt\cdot dt$ Если никакие значки не выкидывать. $\int I = Q$ Мы получили наш символ заряда. С правой частью у меня сложности $C\int dU/dt\cdot dt$ Из этого получаем $C\int dU$, $dt$ сократилось. Раскрываем диференциал $C\int U'(t)dt$ и наконец то получаем $Q=CU$. Верно? То есть вписывание в исходное уравнение $dU/dt$ Это всего лишь удобство показать по чему дифференцируем и обычное соглашение?

[ewert]

3DRaven в сообщении #569586 писал(а):

Выходит пугающее меня в текстах $d/dx$ вообще без всякой функции это тоже просто операция взятия производной, просто вообще ни к какому уравнению не привязанная...

Выражение $\frac{d}{dx}$ -- это оператор, т.е. некоторое правило, преобразующее один объект (в данном случае функцию) в другой. Запись вида $\frac{d}{dx}f(x)$ означает применение оператора $\frac{d}{dx}$ к функции $f(x)$, т.е. переход от функции к её производной. Равенство $\frac{d}{dx}f(x)=\frac{df(x)}{dx}$ носит чисто формальный характер и оправдано тем, что внешне применение оператора выглядит как умножение на оператор. А последнее выгодно потому, что оператор дифференцирования линеен: $\frac{d}{dx}\big(\alpha\,f(x)+\beta\,g(x)\big)=\alpha\,\frac{d}{dx}f(x)+\beta\,\frac{d}{dx}g(x)$, т.е. его применение имеет те же свойства, чио и формальное умножение.

[AKM]

3DRaven в сообщении #569586 писал(а):

Интеграл будет у нас $\int I = \int C\cdot dU/dt\cdot dt$ Если никакие значки не выкидывать. $\int I = Q$ Мы получили наш символ заряда.

Запись $\int I = $ --- бессмысленна. На эту тему --- ещё одна ссылка, от ИСН.
Вряд ли мы там получим "символ заряда". Если правильно делать --- получим заряд.

Но под знаком интеграла должна стоять сумма бесконечно малых приращений. Вспомните, как Вам объясняли понятие определённого интеграла. И прикладывайте это воспоминание всякий раз, когда видите и обдумываете запись с этим крючочком (типа $\int\ldots d\,x\approx\sum\ldots \Delta x$).

[3DRaven]

Спасибо за ответы! Про оператор ответ исчерпывающий.
Что касается заряда...это я так...для полноты написал...имелось в виду, что когда на электронную схему смотрю...я именно так думаю...пусть и бессмысленно, но интегрирование тока есть заряд :) Я ведь уточнил, что напишу "полностью"...имелась в виду калька с меня смотрящего на схему :) Еще раз спасибо, наконец то разобрался вроде.


Что же касается объяснений...нас по вышке гнали как чертей, просто что бы в сроки обрезанных часов уложиться...да и с математикой у меня всегда туго было, сдесь себя приукрашивать я тоже не стану конечно.

[Dragon27]

3DRaven в сообщении #569566 писал(а):

В то же время я всегда думал, что $d(\sin(x))/dx$ разъединять нельзя, так как $dx$ ясно показывает,
что именно изменяется в данном случае из аргументов функции. Или может быть есть случаи когда нельзя, а когда можно? Тут же находится вопрос о производных высшего порядка. Например запись:
$d^nf(x)/dx^n$ Показывает нам производную высшего порядка. Зачем писать $n в числителе и занаменателе, для того что бы позже иметь возможность разделить их как в вышеприведенном примере с интегрированием подстановкой? Тогда $dx^n$ означает БМИ $x^n...или это есть БМИ $x$ возведенного в степень $n$?

Как вы уже, наверное, выяснили, $dx$ - это не бесконечно малая, а дифференциал. Можно рассматривать как произвольное приращение независимой переменной $x$.
$dy$ уже будет линейной частью приращения функции, отвечающей этому приращению $dx$ (можно рассматривать как функцию от $x$ и приращения $x$).
В случае взятия производной от функции одной переменной $dy/dx$ можно спокойно разделять на отдельные $dy$ и $dx$ и переставлять их туда или обратно, то есть, производную можно представить как отношение двух дифференциалов (даже если $dx$ - зависимая переменная). Однако, если у вас функция от нескольких переменных $z(x,y)$, например, то производная по какой-либо переменной (частная производная) $\partial z \over \partial x$ уже является цельным символом и разделять его нельзя.
Производные высшего порядка, скажем, второго - $d^2y \over dx^2$. По сути, это что-то вроде ${d(\frac{dy}{dx})} \over {dx}$ (то есть, оператор $d \over dx$ берётся дважды, второй раз - от результата первого раза), а $d^2y \over dx^2$ - это просто сокращённая запись. В случае, если $x$ - независимая переменная, можно взять отдельно дифференциал второго порядка $d^2y$ от $y$ и квадрат дифференциала $dx^2 = (dx)^2$ от $x$, и поделить - получится вторая производная $y$ по $x$. В случае, если $x$ не является независимой переменной (а функцией от какой-либо другой переменной) - это уже не верно.

[Алексей К.]

Dragon27 в сообщении #569640 писал(а):

В случае, если $x$ - независимая переменная, можно взять отдельно ......
В случае, если $x$ не является независимой переменной (а функцией от какой-либо другой переменной) - это уже не верно.

Мне кажется, Вы здесь малость перемудрили. Зависима она, или независима --- в обоих случаях описанная Вами штуковина верна и даёт значение $y''_{xx}$. Другое дело, что если $x=x(t)$, то полученное значение не будет равно $y''_{tt}$. Но такой вопрос сейчас перед нами и не стоит. Это как бы потом.

[3DRaven]

Я нашел статью в вики [url]http://ru.wikipedia.org/wiki/Дифференциалы_высших_порядков[/url]
Они этот материал выделили отдельно и я сразу на него не попал в результате...хотя именно это и искал.
Неинвариантность дифференциалов высшего порядка там показана наглядно...для меня ТЕПЕРЬ наглядно.
Далее.

...то производная по какой-либо переменной (частная производная) $\partial z \over \partial x$ уже является цельным символом и разделять его нельзя.

Нельзя разделять, насколько я понимаю, не в силу "нельзя", а только лишь потому, что поменяй мы $\partial x$ и допустим какой то $\partial y$ местами в функции многих пременных и напрвление вектора частной производной просто поменяется. То есть мы по прежнему имеем дело с отношением дифференциалов, но оно нам нужно именно такое (в данном направлении) иначе мы могли бы свободно манипулировать этой дробью? То есть "особенный" символ дифференциала призван только лишь привлечь внимание к факту "мы берем дифференциал в строго определенном направлении". Про направления дифференцирования может и грамотней можно сказать, но надеюсь вы меня поняли.

Второе. $dx$ именно бесконечно малая. Там ведь будет $x'\Delta x$ отсюда следует $1 \cdot \Delta x$, где в пределах, если записывать, будет $\Delta x$ стремится к нулю...то есть бесконечно малая величина.

[3DRaven]

Я смотрел статью [url]ru.wikipedia.org/wiki/Дифференциалы_высших_порядков[/url]
и не могу понять как осуществлен переход от этого:
$d^2z = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}dx^2 + 2\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}dxdy + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}dy^2 $
К этому
$d^2z = (\frac{\partial}{\partial x}dx+\frac{\partial}{\partial y}dy)^2z$

Очеидно, что это формула сокращенного уможения, но только если предположить (а точно я пока не знаю), что $\partial z \cdot \partial z = \partial^2 z$ то есть обычная операция умножения с дифференциалами, равноценна взятию дифференциала следующего порядка. Отсюда вопрос...я поискал но не знаю как именно назвать то, что хочу найти. Где посмотреть свойства дифференциала как самостоятельного элемента уравнения? Последний этап этого рассуждения судя по всему основан на том, что самими дифференциалами возможно оперировать и постепенно прийдти к "результату", который бы описывал итоговое действе, которое мы хотим совершть над функцией. Подскажите где можно в первом приближении посмотреть на эти темы. Я проверил, на основе моего предположения действительно выводится в обратную сторону из второго уравнения, первое! Но все же свойства оператора дифференцирования...как называется раздел математики, который этим занимается и в какой книжке попроще изложены основы...это мне любопытство удовлетворить свое.

Заранее спасибо.

[CptPwnage]

3DRaven в сообщении #569830 писал(а):

$d^2z = (\frac{\partial}{\partial x}dx+\frac{\partial}{\partial y}dy)^2z$

Вроде так пишут для сокращения записи и не имеют ввиду ничего строгого, в Зориче по крайней мере так написано в параграфе о ряде Тейлора для функций многих переменных.

[Dragon27]

Алексей К. в сообщении #569679 писал(а):

Мне кажется, Вы здесь малость перемудрили. Зависима она, или независима --- в обоих случаях описанная Вами штуковина верна и даёт значение $y''_{xx}$. Другое дело, что если $x=x(t)$, то полученное значение не будет равно $y''_{tt}$. Но такой вопрос сейчас перед нами и не стоит. Это как бы потом.

Вы уверены?
Если мы возьмём второй дифференциал $d^2y=y''_{xx}dx^2 + y'_{x}d^2x$ и поделим на $dx^2$, то как же мы получим $y''_{xx}$, с учётом, что $d^2x$ не равно нулю?

-- Пт май 11, 2012 22:50:41 --

3DRaven в сообщении #569704 писал(а):

Нельзя разделять, насколько я понимаю, не в силу "нельзя", а только лишь потому, что поменяй мы $\partial x$ и допустим какой то $\partial y$ местами в функции многих пременных и напрвление вектора частной производной просто поменяется. То есть мы по прежнему имеем дело с отношением дифференциалов, но оно нам нужно именно такое (в данном направлении) иначе мы могли бы свободно манипулировать этой дробью? То есть "особенный" символ дифференциала призван только лишь привлечь внимание к факту "мы берем дифференциал в строго определенном направлении". Про направления дифференцирования может и грамотней можно сказать, но надеюсь вы меня поняли.

Ну фактически да, производная по $x$ - это производная в направлении $x$. А вот если поменять в смешанной производной очерёдность переменных, то как раз, в большинстве случаев, смешанная производная не изменится. Дифференциал же в направлении $x$ равен $\frac{\partial y}{\partial x} dx$, и смысл тут в том, что вот это $dx$ сокращать нельзя, как непосвящённому уму кажется :)
Обозначение, я думаю, выбрано было просто по аналогии.

3DRaven в сообщении #569704 писал(а):

Второе. $dx$ именно бесконечно малая. Там ведь будет $x'\Delta x$ отсюда следует $1 \cdot \Delta x$, где в пределах, если записывать, будет $\Delta x$ стремится к нулю...то есть бесконечно малая величина.

Дифференциал - это не бесконечно малая. Это линейная часть приращения. Приращение может быть произвольным. Если приращение аргумента устремить к нулю, то отношение приращения функции к дифференциалу функции устремится к единице. Но само по себе приращение - это не бесконечно малая.

[3DRaven]

Простите, а как вы получили $d^2y=y''_{xx}dx^2 + y'_{x}d^2x$
Если $d^2y = d(dy) = d(y'dx) = dy'dx = (y''dx)dx = y''dx^2$ ?

[Dragon27]

3DRaven в сообщении #569830 писал(а):

Я смотрел статью [url]ru.wikipedia.org/wiki/Дифференциалы_высших_порядков[/url]
и не могу понять как осуществлен переход от этого:
$d^2z = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}dx^2 + 2\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}dxdy + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}dy^2 $
К этому
$d^2z = (\frac{\partial}{\partial x}dx+\frac{\partial}{\partial y}dy)^2z$

Очеидно, что это формула сокращенного уможения, но только если предположить (а точно я пока не знаю), что $\partial z \cdot \partial z = \partial^2 z$ то есть обычная операция умножения с дифференциалами, равноценна взятию дифференциала следующего порядка.

Ну это просто сокращённая запись - взять дифференциал два раза. Один раз применить $(\frac{\partial}{\partial x}dx+\frac{\partial}{\partial y}dy)$ к $z$, а потом второй раз. Если чисто формально возвести эти символы в квадрат по известной формуле, то получится:
$\frac{\partial^2}{\partial x^2}dx^2 + 2\frac{\partial^2}{\partial x\partial y}dxdy + \frac{\partial^2}{\partial y^2}dy^2$

-- Пт май 11, 2012 23:00:50 --

3DRaven в сообщении #569830 писал(а):

Отсюда вопрос...я поискал но не знаю как именно назвать то, что хочу найти. Где посмотреть свойства дифференциала как самостоятельного элемента уравнения? Последний этап этого рассуждения судя по всему основан на том, что самими дифференциалами возможно оперировать и постепенно прийдти к "результату", который бы описывал итоговое действе, которое мы хотим совершть над функцией. Подскажите где можно в первом приближении посмотреть на эти темы. Я проверил, на основе моего предположения действительно выводится в обратную сторону из второго уравнения, первое! Но все же свойства оператора дифференцирования...как называется раздел математики, который этим занимается и в какой книжке попроще изложены основы...это мне любопытство удовлетворить свое.

Не совсем понимаю, что вы хотите. Просто изучайте анализ и думайте, рефлексируйте в свободное время над своими знаниями :)

3DRaven в сообщении #569878 писал(а):

Простите, а как вы получили $d^2y=y''_{xx}dx^2 + y'_{x}d^2x$
Если $d^2y = d(dy) = d(y'dx) = dy'dx = (y''dx)dx = y''dx^2$ ?

Если более полно, то:
$d^2y = d(dy) = d(y'dx) = d(y')dx + y'd(dx) = y''dx^2 + y'd^2x$
Просто, в том случае, когда $x$ - независимая переменная, все $d^2x$, $d^3x$ и вообще $d^{n}x$, кроме $d^1x = dx$, равны нулю. Если же $x$ - зависимая переменная, то эти высшие дифференциалы приходится учитывать, а не откидывать.