функционал на S

[Oleg Zubelevich]

Доказать, что всякий функционал $T\in\mathcal{S}'(\mathbb{R}^m)$ представляется в виде

$$T(\psi)=\Big(h(x),(1+|x|^{2k})\frac{\partial ^{\|r\|}\psi(x)}{\partial x_1^{r_1}\ldots \partial x_m^{r_m}}\Big)_{H^p(\mathbb{R}^m)},$$

где $h\in H^p(\mathbb{R}^m),\quad r=(r_1,\ldots,r_m)\in\mathbb{Z}^m_+,\quad k\in\mathbb{Z}_+,\quad p>2m$ не зависят от $\psi$.
$\|r\|=r_1+\ldots+r_m$, через $|\cdot|$ обозначена стандартная евклидова норма.

[g______d]

Это может быть задачей на пятерку курсе на третьем, но олимпиадная?

[Oleg Zubelevich]

g______d в сообщении #569144 писал(а):

Это может быть задачей на пятерку курсе на третьем

не согласен, но если Вам она кажется слишком простой, можете вот эту посмотреть: topic57283.html

[Padawan]

Что такое $H^p(\mathbb R^m)$ ?

[Oleg Zubelevich]

пространство Соболева функций у которых производные до порядка $p$ лежат в $L^2(\mathbb{R}^m$

[g______d]

Oleg Zubelevich в сообщении #569161 писал(а):

g______d в сообщении #569144 писал(а):

Это может быть задачей на пятерку курсе на третьем

не согласен, но если Вам она кажется слишком простой, можете вот эту посмотреть: topic57283.html

Да, наверное, на четвертом.

Я честно так явно решения не выписывал, но все пути, которыми я бы ее решал, олимпиадными не кажутся, а кажутся основанными на общей интуиции и понимании определения.

[Oleg Zubelevich]

g______d в сообщении #569178 писал(а):

Я честно так явно решения не выписывал, но все пути, которыми я бы ее решал, олимпиадными не кажутся, а кажутся основанными на общей интуиции и понимании определения.

если Вы напишите решение этой задачи только на определениях... это будет интересно

[Padawan]

$r$ тоже от $\psi$ не зависят?

[Oleg Zubelevich]

не зависят

[g______d]

Есть такой факт: $\bigcap\limits_{s\ge s_0}H^s(\mathbb R^m)=\mathcal S(\mathbb R^m)$. Думаю, что отсюда следует, что топология в $\mathcal S$ порождена системой полунорм $\|\cdot\|_s$ в $H^s(\mathbb R^m)$ для целых $s\ge s_0$, $s_0$ можно выбирать любым, т. к. они вложены.

Поэтому любой функционал над этим пространством ограничен по одной из этих норм, т. е. $\|f(\varphi)\|\le C(f)\|\varphi\|_{s(f)}$. Или, что то же самое, принадлежит $H^{-s(f)}(\mathbb R^m)$. Следует ли из этого все, что нужно?

[Oleg Zubelevich]

g______d в сообщении #569454 писал(а):

Есть такой факт: $\bigcap\limits_{s\ge s_0}H^s(\mathbb R^m)=\mathcal S(\mathbb R^m)$

это в литературе не встречал, вложение $\mathcal S(\mathbb R^m)\subseteq\bigcap\limits_{s\ge s_0}H^s(\mathbb R^m)$ очевидно

g______d в сообщении #569454 писал(а):

Думаю, что отсюда следует, что топология в $\mathcal S$ порождена системой полунорм $\|\cdot\|_s$ в $H^s(\mathbb R^m)$

следует, конечно, в силу принципа открытости отображения из первого равенства

g______d в сообщении #569454 писал(а):

Поэтому любой функционал над этим пространством ограничен по одной из этих норм, т. е. $\|f(\varphi)\|\le C(f)\|\varphi\|_{s(f)}$. Или, что то же самое, принадлежит $H^{-s(f)}(\mathbb R^m)$. Следует ли из этого все, что нужно?

конечно, по теореме Рисса. И формула получается симпатичней моей. Самое интересное здесь это первое равенство, подумаю как его проверить.

[sup]

Хм, сомнительно.
Как насчет $m=1$ и $f(x)=\sin (x)/x$.
Наверное надо вместо "обычных" Соболевских пространств взять весовые ( с весом вида $ (1+|x|^2)^s$).
Ну что-нибудь типа $ (1+|x|^2)^s f(x) \in H^s (\mathbb R^m)$

[g______d]

Да, я что-то перепутал. Для весовых пространств как раз должно быть больше похоже на формулу Oleg Zubelevich.

[Oleg Zubelevich]

Удалось вроде попроще написать.

Через $|\cdot|$ обозначена стандартная евклидова норма. Пусть $T\in\mathcal{S}'(\mathbb{R}^m)$. Теорема. Существуют такие постоянные $l,p\in\mathbb{N}$ и функция $h\in H^p(\mathbb{R}^m)$, что верна формула $T(\psi)=(h,(1+|x^2|)^l\psi)_{H^p(\mathbb{R}^m)}$. Доказательство. Имеем $$|T(\psi)|\le \sum_{k,r}\sup_{x\in\mathbb{R}^m}c_{kr}|(1+|x|^2)^k D^r\psi(x)|,\quad D^r=\frac{\partial ^{\|r\|}}{\partial x_1^{r_1}\ldots \partial x_m^{r_m}}.$$ Здесь $\|r\|=r_1+\ldots+r_m$, суммирование в этой формуле ведется по конечному набору $k\in\mathbb{Z}_+,\, r\in\mathbb{Z}^m_+$, который не зависит от $\psi$. Константы $c_{kr}>0$ тоже не зависят от $\psi$. Пусть $k'$ -- это максимальное из тех $k$ по которым ведется суммирование. Тогда положим $$\psi(x)=Au=\frac{u(x)}{(1+|x|^2)^{k'}}$$ Имеем $$|T(Au)|\le \sum_{k,r}\sup_{x\in\mathbb{R}^m}c_{kr}|(1+|x|^2)^k D^r(Au)|\le c\sum_{n}\sup_{x\in\mathbb{R}^m} |D^nu|.$$ В последней сумме суммирования ведется по конечному подмножеству $\mathbb{Z}^m_+$. По теореме вложения Соболева последняя сумма не превосходит $c\|u\|_{H^p(\mathbb{R}^m)}$ при достаточно большом $p$. Множество $\mathcal{S}(\mathbb{R}^m)$ плотно в $H^p(\mathbb{R}^m)$, поэтому непрерывный функционал $T\circ A$ можно продолжить на $H^p(\mathbb{R}^m)$ без увеличения нормы. Таким образом найдется элемент $h\in H^p(\mathbb{R}^m)$ такой, что $T\circ Au=(h,u)_{H^p(\mathbb{R}^m)}$. Теорема доказана.

[g______d]

Наверное, можно $D^r$ заменить степенью какого-нибудь одного оператора (типа $-\Delta+1$) и избавиться от суммы по $k,r$.

Но все-таки, где здесь олимпиадность?