Найти кривизну и кручение кривой

[Dospad]

Помогите решить задачу:
Найти кривизу и кручение кривой $x^2+2y^2+3z^2=4, z=0$ в точке $M(2, 0, 0)$.

Очевидно, что надо как-то параметризовать кривую, но пока получается слишком громоздко. Подскажите каким способом это сделать и по каким формулам потом искать кривизну и кручение.
Заранее благодарен.

Dospad,

здесь рассказано, как набирать формулы: они обязательно окружаются долларами (таков синтаксис $\TeX$-a), а тэг [mаth] выставится автоматически.

[Алексей К.]

Я вот кручений искать не умею (только до кривизны доучился), но после того как я представил себе эту кривую, я кручение сосчитал устно. В уме. Без бумажки, без ЭВМ и без параметризации! И сразу понял, как кривизну буду искать, если припрёт.

-- 24 апр 2012, 10:55:38 --

Что за кривулька? Как она образовалась? И как выглядит?

[Dospad]

Ну кручение я так понимаю 0... А как кривизну -то найти?

[Someone]

Dospad в сообщении #569299 писал(а):

А как кривизну -то найти?

По соответствующей формуле (простите за банальность).

[Dospad]

Ну это понятное дело. Но формулы все для параметрического задания. А здесь неявное (как я понимаю пересечение поверхностей). У меня почему-то парметризация получается очень сложной.

[Someone]

Да ладно, на худой конец просто выразите $x$ через $y$. Или тригонометрией воспользуйтесь, там тоже простые уравнения получаются.

[Алексей К.]

Dospad в сообщении #569307 писал(а):

У меня почему-то парметризация получается очень сложной.

Алексей К. в сообщении #563312 писал(а):

Что за кривулька?

Кривую-то Вы так и не назвали. Если это, скажем, гиперпарабола в каноническом положении, то как для неё можно получить сложную параметризацию? Во всех книжках она дико простая. А в иных можно найти и формулу кривизны для кривых, заданных неявно $(F(x,y)=0)$.

[gris]

А я когда-то думал, что кривизна и кручение кривой зависят даже не от параметризации, а от её нахождения на определённой поверхности. То есть, если окружность поднять с плоскости и положить на сферу или параболоид, то её кривизна изменится.
Может быть это задание и призвано разрушить это заблуждение?
Я думаю, что ТС для плоского эллипса легко бы нашёл решение. Действительно, просто подставить в уравнение $z=0$ как-то страшновато. Ведь дали же его зачем-то.
А вдруг это не заблуждение? :x

+++ Кстати, из того, что кривая плоская, ещё не значит, что кручение её равно нулю во всех точках. Но нахождение кривизны сразу успокоит.

[Dospad]

Эх. Намудрил тут.

Сложим 2 уравнения.
$ \begin{cases} x^2+2y^2+3z^2=4\\ z=0 \end{cases} \begin{cases} x^2+2y^2=4\\ z=0 \end{cases} $

Пусть $y=t$. Тогда перепишем параметрически:
$ \begin{cases} x=±$\sqrt{4-2t^2}\\ y=t\\ z=0 \end{cases} $

Получается кривая из двух ветвей. Пробуем подставлять искомую точку и видим, что подходит только корень с плюсом. При этом значение $t$ в этой точке $t=0$.

Смотрим формулу кривизны:
$k^2(t)=\frac{\begin{vmatrix} y' z' \\ y'' z'' \end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix} x' z' \\ x'' z'' \end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix} x' y' \\ x'' y'' \end{vmatrix}^2}{(x'^2+y'^2+z'^2)^3}$

Найдем производные для ветви, где корень с плюсом:
$ \begin{cases} x'=\frac{-2t}{\sqrt{4-2t^2}}\\ y'=1\\ z'=0 \end{cases} \begin{cases} x''=\frac{-2\sqrt{4-2t^2}}{t^4-4t^2+4}\\ y''=0\\ z''=0 \end{cases} $

Теперь найдем значения этих производных в точке $t=0$
$ \begin{cases} x'(0)=0\\ y'(0)=1\\ z'(0)=0 \end{cases} \begin{cases} x''(0)=-1\\ y''(0)=0\\ z''(0)=0 \end{cases} $

Подставляем в формулу:
$k^2(t)=\frac{0+0+1}{1}=1$
Получается:
$k=1; k=-1$

Я сейчас бред написал или правильное решение? Как считаете? Особенно интересует момент с 2 ветвями и отбрасыванием одного варианта. А также какой $k$ выбрать? Ведь в принципе кривизна обычно считается положительной.

[Nacuott]

Неужели вы не узнаете уравнение эллипса?

[Dospad]

Nacuott в сообщении #569346 писал(а):

Неужели вы не узнаете уравнение эллипса?

Хах. Точно. Спасибо.

Уравнение получается такое:
$ \begin{cases} x=2\cos(t) \\ y=\sqrt{2}\sin(t)\\ z=0 \end{cases} $

И $t$ в пределах от 0 до 2пи.

Немного интересует правильность дальнейшего решения.
Подставляем точку в уравнение. Получается $t=0$.

Ищем производные до второго порядка в точке $t=0$. И подставляем в формулу что в предыдущем сообщения. Ответ также, как и в тот раз, получается +-1. Осталось не напортачить в кручении.

[Алексей К.]

Dospad в сообщении #569327 писал(а):

Сложим 2 уравнения.

Вы их не складывали. Вы им что-то другое сделали. Например, объединили. Исключили $z$. Увидели, что кривая лежит в плоскости $OXY$.

Dospad в сообщении #569368 писал(а):

И подставляем в формулу что в предыдущем сообщения.

Для плоской кривой есть формула попроще: $k=\frac{y''x'-x''y'}{({x'}^2+{y'}^2)^{3/2}}$.
Что касается выбора знака, то...

-- 10 май 2012, 15:04:29 --

...то приведённая мной формула использует ориентацию кривой, заданную конкретной параметризацией, и знак может оказаться как плюс, так и минус. В Вашем случает следует брать положительное значение, из двух соображений:
1) в условия задачи ориентация не задана, мы её взяли от фонаря (могли и противоположную взять);
2) кривая в условии задачи пространственная, и для неё кривизна по определению положительна.

Т.е., не "из двух соображений", а какого-то одного. Правильно, наверное, из второго.

[Dospad]

Идеи насчет сложения и объединения не понял. Насчет формулы - знаю, но это она же и есть, просто тут определители раскрыты, а те что обнуляются из-за z убраны. И насчет знака тоже не понял

[Алексей К.]

(Про знак уже дописал).
Если бы Вы реально сложили два уравнения, то результат был бы $x^2+2y^3+3z^2+z=4+0$. Я здесь за точность терминов ратую.

-- 10 май 2012, 15:51:23 --

Dospad в сообщении #569368 писал(а):

Осталось не напортачить в кручении.

Осталось допросить grisа, --- что же он имел в виду? Думаю, всего лишь то, что кручение определено, если кривизна не нулевая. У нас, как оказалось, именно этот случай.

И если Вы вместо смелого и обоснованного заявления ("Кручение равно нулю, потому что...") начнёте считать производные (уже, судя по всему, начали) и выписывать страшные формулы, чтобы тот ноль явно получить, то преподавать, возможно, снизит оценку. Как бы за непонимание самого явления кручения. За "из пушки по воробьям". Даже не знаю, как он должен поступить в этом случае.

[Dospad]

Цитата:

Осталось допросить grisа, --- что же он имел в виду? Думаю, всего лишь то, что кручение определено, если кривизна не нулевая. У нас, как оказалось, именно этот случай.

Ну я тоже так подумал.

Цитата:

И если Вы вместо смелого и обоснованного заявления ("Кручение равно нулю, потому что...") начнёте считать производные (уже, судя по всему, начали) и выписывать страшные формулы, чтобы тот ноль явно получить, то преподавать, возможно, снизит оценку. Как бы за непонимание самого явления кручения. За "из пушки по воробьям". Даже не знаю, как он должен поступить в этом случае.

Да там считать нечего, стоит взлянуть на формулу, и сразу видно, что весь числитель обнуляется.