Задачи из Математического Просвещения №15 (2011)

[maxal]

Задачи из номера 15 "Математического Просвещения". См. также задачи из номеров 10, 11, 12, 13, 14.


1. Задачи на "устный счет":
а) Найдите первую цифру числа $2^{400}$. (А. Я. Белов)

б) Найдите $[2^{\sqrt{15}}]$, не пользуясь калькулятором. (А. В. Спивак)

в) Что больше: $\sqrt[3]{60}$ или $2+\sqrt[3]{7}$? (В. А. Сендеров)

г) Оцените $\displaystyle\int_0^{2\pi}\!\sin^{100}x\,dx$ с 20% погрешностью. (В. И. Арнольд)


2. Может ли сумма двух периодических функций с наименьшими периодами $1$ и $\sqrt{2}$ снова быть периодической функцией, отличной от константы?


3. (А. В. Акопян, D. Schleicher) Гипербола $H=\{(x,y): xy=1\}$ повернута на угол $\alpha$ относительно начала координат $(0,0)$; получилась гипербола $H_{\alpha}$. Найдите угол между их касательными в точках пересечения $H$ и $H_{\alpha}$.


4. (В. А. Сендеров, А. Я. Белов) Во все точки целочисленной решетки на плоскости вбиты гвозди. На плоскость положили отрезок длины $2011$, не задевающий ни одного их этих гвоздей.

а) Можно ли передвинуть отрезок, не задевая ни одного гвоздя, так, чтобы в результате он развернулся на $180^\circ$?

б) Существует ли такое начальное положение отрезка, при котором его можно повернуть вокруг некоторой точки на $180^\circ$ так, чтобы он не задел ни одного гвоздя?
(Авторам неизвестно, верно ли утверждение пункта б) для произвольного начального положения отрезка.)


5. (А. В. Бунькова) Даны две бесконечно дифференцируемые функции $f(x)=x+a_2x^2\double +a_3x^3+\dots$, $g(x)=x+b_2x^2+b_3x^3+\dots$. Известно, что $f(g(x))=x$ и что все числа $k!a_k$ -- целые. Докажите, что что все числа $k!b_k$ -- тоже целые.

Решение приведено в номере 20 (стр. 263)


6. (А. Я. Белов) На ленте записана бесконечная последовательность цифр. Докажите, что либо из нее можно вырезать $10$ стозначных чисел, идущих в порядке убывания, либо какая-нибудь комбинация цифр повторяется $10$ раз подряд. А если длина ленты $100^{100}$ или $100^{20}$? Оцените достаточную длину ленты.


7. (Теорема Гарнака) Алгебраическая кривая порядка $m$ задана уравнением

$$\sum_{k+l\le m} a_{kl}x^ky^l=0.$$

Докажите, что количество ее овалов (т.е. компонент связности) не превосходит $(m-1)(m-2)/2+1$.


8. (А. Я. Белов)
а) Расстояние между промежуточными лагерями 1 день пути. Экспедиция хочет отнести 1 банку консервов на расстояние $n$ дней пути от базового лагеря и вернуться обратно. При этом каждый член экспедиции может нести с собой не более трех банок консервов, а в день он съедает одну банку. Каково наименьшее число банок консервов должно быть употреблено для этой цели? (Оставлять банки можно только в промежуточных лагерях.)

б) Рассмотрите случай, когда каждый член экспедиции может нести с собой $k$ банок консервов, а также случай камикадзе.

в) Непрерывный аналог этой задачи: самолеты могут заправляться в воздухе, а дальность полета составляет 1000 км. Количество бензина, который для этого тратится принимается за единицу. Сколько нужно бензина чтобы пролететь
10 тыс. км?


9.
a) Дана $2\times2$ матрица $A$ с вещественными коэффициентами. Докажите, что ее можно представить как сумму квадратов двух матриц второго порядка с вещественными коэффициентами. (SEEMOUS $2010$)

б)* Можно ли матрицу размера $n\times n$ с вещественными коэффициентами представить в виде суммы квадратов нескольких матриц размера $n\times n$ с вещественными коэффициентами? Если "да", то каково минимальное число квадратов? (Охад Ливне Бар-Он, Шахар Кармиели)


10. (И. И. Богданов) На грани правильного тетраэдра отмечена точка. Докажите, что тетраэдр можно разрезать на четыре равных выпуклых многогранника так, чтобы эта точка была вершиной одного из них.


11. (Э. Б. Винберг)
а) Пусть $M=(a,b)$ -- интервал на положительной полупрямой $(0,+\infty)$. Доказать, что интервалы $nM=(na,nb)\ (n=1,2,\dots)$ покрывают полупрямую $(c,+\infty)$ для достаточно большого $c$ и, значит, дополнение к их объединению имеет конечную меру.

б) Придумать пример подмножества $M\subset (0,\infty)$ положительной меры, не обладающего указанным выше свойством, т.е. такого, что дополнение к объединению подмножеств $nM\ (n=1,2,\dots)$ имеет бесконечную меру.


12. (И. И. Богданов, Э. Б. Винберг, Г. А. Гальперин, Г. Р. Челноков)
а) Множество $X$ вершин правильного $n$-угольника таково, что равна нулю сумма векторов с началом в центре многоугольника и концами в вершинах множества $X$. Пусть $n=p^\alpha q^\beta$, где $p,q$ -- простые числа. Докажите, что для некоторого $k$ множество $X$ можно разбить на непересекающиеся множества, каждое из которых является множеством вершин правильного $k$-угольника.
Докажите, что при любом $n$, делящемся хотя бы на три различных простых числа, это не всегда верно. (Пара противоположных вершин рассматривается как $2$-угольник).

б) Пусть $v_1,\dots,v_n$ -- векторы из центра правильного $n$-угольника в его последовательные вершины, $a=(a_1,\dots,a_n)$ -- такой целочисленный вектор, что $\sum_{i=1}^n a_iv_i=0$.
Докажите, что $a$ есть целочисленная линейная комбинация векторов вида

$$e_{d,k}=(\underbrace{0,\dots,0}_{d},1,\underbrace{0,\dots,0}_{k-1},1,\underbrace{0,\dots,0}_{k-1}, \dots,1,\underbrace{0,\dots,0}_{k-d-1})$$

при $k$, делящих~$n$. (По сути, $e_{k,d}$ соответствует сумме векторов в вершины некоторого правильного $(n/k)$-угольника.)

[Doil-byle]

1) $ 120 = \lfloor 400lg 2 \rfloor. $
$ \lfloor \frac{2^{400}}{10^{120}} \rfloor=2$

maxal
Извините, а почему именно эти 12 и аж 12?

[Dave]

1в) Функция $f(x)=\sqrt[3]{1-x}$ - вогнутая на интервале $(0,1)$. Значит $f(x)>\frac {f(0)+f(2x)} 2$ при $x \in (0,\frac 1 2)$. Положим $x=\frac 1 {16}$: $\sqrt[3]{1-\frac 1 {16}}>\frac {1+\sqrt[3]{1-\frac 1 8}} 2$. Умножаем обе части на $4$ и получаем: $\sqrt[3]{60}>2+\sqrt[3]{7}$.

-- 04.05.2012, 23:54 --

1а) $2^{400}=({2^{10}})^{40}=({1,024 \cdot 10^3})^{40}=10^{120}\left(1+\frac 3 {125}\right)^{40}$. Докажем, что $2<\left(1+\frac 3 {125}\right)^{40}<3$, откуда будет следовать, что первая цифра числа $2^{400}$ равна $2$.
Неравенство $2<\left(1+\frac 3 {125}\right)^{40}$ следует из бинома Ньютона: $\left(1+\frac 3 {125}\right)^{40}>1+40 \cdot \frac 3 {125}+\frac {40 \cdot 39} 2 \left(\frac 3 {125} \right)^2=1+\frac {24} {25}+\frac 1 {25} \cdot \frac {20 \cdot 39 \cdot 9} {5 \cdot 125}$, последнее выражение равно $1+\frac {24} {25}+\frac 1 {25} \cdot \frac {4 \cdot 39 \cdot 9} {125}>1+\frac {24} {25}+\frac 1 {25}=2$. Неравенство $\left(1+\frac 3 {125}\right)^{40}<3$ же следует из того, что функция $f(x)=(1+x)^{\frac 1 x}$ убывает справа от нуля и $\lim\limits_{x \to 0+} f(x) = e$. Значит $f\left(\frac 3 {125}\right)<e<3$, откуда $\left(1+\frac 3 {125}\right)^{40}<\left(1+\frac 3 {125}\right)^{\frac {125} 3}<3$.

[maxal]

Doil-byle в сообщении #567333 писал(а):

Извините, а почему именно эти 12 и аж 12?

Вопрос не ко мне - почему редакторы выбрали именно эти задачи, и именно 12 штук, я не знаю.

[mihiv]

1г.Формула Эйлера: $\sin x=\dfrac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$,возводим в 100-ю степень,при интегрировании отлично от 0 лишь одно слагаемое,значение интеграла получается равным:$I=\dfrac {\pi }{2^{99}}C^{50}_{100}$.Дальше применяя формулу Стирлинга,можем оценить значение интеграла с нужной точностью.

[Хорхе]

А сразу Лапласом не проще? Что там получится, $I\approx \sqrt{6,283}/5$? Как-то больно много?

Да нет, проверил в Wolframalpha, дает точность куда лучше 20%.

[mihiv]

У меня получилось то же самое.

[Dave]

$\int_0^{2\pi}\!\sin^{2n}x\,dx \sim 2\sqrt{\frac \pi n}$ при $n \to +\infty$. Для $n=50$ получаем что-то около $0.5$.

[Sonic86]

maxal в сообщении #567325 писал(а):

2. Может ли сумма двух периодических функций с наименьшими периодами $1$ и $\sqrt{2}$ снова быть периодической функцией, отличной от константы?

Обозначим функции $f,g,h=f+g$, их периоды $\alpha,\beta,\gamma$ соответственно. Пишем $x\sim y\Leftrightarrow \frac{x}{y}\in\mathbb{Q}$. Тогда $\alpha\not\sim\beta$, откуда следует, что $\alpha\not\sim\gamma,\beta\not\sim\gamma$.
Предположим, что $h$ существует. Тогда $(\forall x\in\mathbb{R})(\forall k\in\mathbb{Z})h(x+k\gamma)=h(x)$.
$h(x+k\gamma)=h(x)\Leftrightarrow f(x+k\gamma)-f(x)=-g(x+k\gamma)+g(x)$. В частности при $x:=x+\alpha$
$f(x+\alpha+k\gamma)-f(x+\alpha)=-g(x+\alpha+k\gamma)+g(x+\alpha)$
Однако $f(x+\alpha+k\gamma)-f(x+\alpha)=f(x+k\gamma)-f(x)$, а $f(x+k\gamma)-f(x)=-g(x+k\gamma)+g(x)$, значит
$-g(x+\alpha+k\gamma)+g(x+\alpha)=-g(x+k\gamma)+g(x)\Leftrightarrow$
$g(x+\alpha+k\gamma)-g(x+k\gamma)=g(x+\alpha)-g(x)$
Обозначим $d(x)=g(x+\alpha)-g(x)$, $d(x)$ - периодическая с периодом $\beta$. Перепишем соотношение в новом термине $d$ и вспомним кванторную группу:
$(\forall x\in\mathbb{R})(\forall k\in\mathbb{Z})d(x+k\gamma)=d(x)$
Т.е. $d(x)$ еще имеет период $\gamma$. Однако $\beta\not\sim\gamma$ - противоречие.

Значит получается, что даже разрывных таких функций не существует

[RIP]

Ниже написан бред.

Sonic86 в сообщении #569942 писал(а):

Значит получается, что даже разрывных таких функций не существует

Лень разбираться в Ваших выкладках, но такие функции очень даже существуют. Можно воспользоваться идеей из этого моего поста. Конкретный пример таков. Дополним числа $1,\sqrt2$ до базиса Гамеля $\mathbb R$ над $\mathbb Q$. Для $x\in\mathbb R$ будем обозначать коэффициенты при $1$ и $\sqrt2$ в разложении по этому базису через $c_1(x)$ и $c_2(x)$ соответственно. Тогда функции $f(x)=x-c_1(x)$ и $g(x)=2c_1(x)+c_2(x)\sqrt2-x$ удовлетворяют условию.

[sup]

А разве у $f(x)$ наименьший период равен 1?

[RIP]

Ой, там же $\mathbb Q$ получается. Попутал. Виноват.

[sup]

Да вроде идея - то что надо.
Как насчет $\sin (2\pi c_1( x))$ и $\sin (2\pi c_2(x))$?
Их сумма периодична с периодом $1+\sqrt 2$

[RIP]

sup в сообщении #569969 писал(а):

Как насчет $\sin (2\pi c_1( x))$ и $\sin (2\pi c_2(x))$?

Не, не пойдёт. У этих функций периоды всюду плотны.

-- Сб 12.05.2012 11:23:53 --

Хотя если взять их как поправки к моим… надо подумать.

-- Сб 12.05.2012 11:36:11 --

Кажется, получается. Круто. Спасибо.

-- Сб 12.05.2012 11:50:27 --

Sonic86
Я всё-таки прочитал Ваш пост. Вы опять совершаете ошибку, на которую Вам уже указывали: у функции (даже непостоянной) вполне могут быть два несоизмеримых периода.

[Sonic86]

RIP в сообщении #569971 писал(а):

Sonic86
Я всё-таки прочитал Ваш пост. Вы опять совершаете ошибку, на которую Вам уже указывали: у функции (даже непостоянной) вполне могут быть два несоизмеримых периода.

(Оффтоп)

Обалдеть, я бы не вспомнил..., 3 года прошло...

Ага..., в этот раз я подумаю и запомню...

(Оффтоп)

теперь я даже понял, что такое базис Гамеля...