положительный индекс инерции билинейной формы

[tonia.studenikina]

На пространстве многочленов с действительными коэффициентами степени не выше 2 введем билинейную форму по формуле.

$ (a_1 x^2+ b_1 x+c_1, a_2 x^2+b_2 x +c_2) = \int\limits_{0}^{1} (a_1 x^2+ b_1 x+c_1)( a_2 x^2-2b_2 x +c_2)dx$

Найдите её положительный индекс инерции.

Прошу помочь, нашла матрицу билинейной формы, она оказалась несимметрична(не знаю как в этом случае можно найти положительный индекс инерции)

[AV_77]

tonia.studenikina в сообщении #568883 писал(а):

Прошу помочь, нашла матрицу билинейной формы, она оказалась несимметрична

Значит где-то ошиблись. Должна быть симметричная матрица.

[tonia.studenikina]

может я неправильно матрицу нашла? как надо ее находить?

[AV_77]

Не сразу обратил внимание. У вас там точно $-2b_2x$ под интегралом стоит?

[tonia.studenikina]

точно

[AV_77]

Тогда ваша форма, конечно, не симметричная. Но индексы инерции, насколько помню, к квадратичным формам относятся. Вот и найдите квадратичную форму, а потом, например методом выделения полных квадратов, приведите ее к главным осям.

[DTF]

tonia.studenikina, а я тоже решаю эту задачу :)

Давайте сверим ответы?

У меня квадратичная форма получилась в виде
$(\frac{a}{\sqrt{5}} - \frac{(2c-b)\sqrt{5}}{6})^2 + (\frac{b}{24} + \frac{2c}{3})^2 - \frac{1 + 29*36*16}{36*16}b^2$
Соответственно, отрицательный индекс инерции = 1

Форма получилась в очень страшном виде, поэтому терзают сомнения насчет правильности....

Да, и я в теории этих билинейных и квадратичных функций пока что плаваю...

[qx87]

AV_77 в сообщении #568980 писал(а):

найдите квадратичную форму

А как это сделать? Задана ведь несимметричная билинейная.

[apriv]

qx87 в сообщении #571838 писал(а):

AV_77 в сообщении #568980 писал(а):

найдите квадратичную форму

А как это сделать? Задана ведь несимметричная билинейная.

Несимметричная билинейная форма с тем же успехом определяет квадратичную форму.

[qx87]

apriv в сообщении #571845 писал(а):

Несимметричная билинейная форма с тем же успехом определяет квадратичную форму.

Поясните, пожалуйста, каким образом? В литературе такой информации не нашёл.

[AV_77]

qx87 в сообщении #572336 писал(а):

Поясните, пожалуйста, каким образом? В литературе такой информации не нашёл.

Точно так же, как и симметричная билинейная форма - $f(x, x)$.