Устоичивые уравнения для задачи Коши. Метод точного решения

[Revael]

Мне дана система:
$ \begin{cases} y'_1=-125y_1+123.05y_2;\\ y'_2=123.05y_1-123y_2;\\ \end{cases} $
$y_1(0)=1, y_2(0)=1;$
Задание:
Построить на промежутке $[0, 0.5]$ точное решение в точках $t_i=ih, i=1,2,...,5, h=0.1$
Для такой задачи: $y'=f(t,y), y(t_0)=y_0.$
Формула выглядит вот так: $f(t,y) \approx f(t_0,y_0)+f'_t(t_0,y_0)(t-t_0)+f'_y(t_0,y_0)(y-y_0)$
Я подставил формулу:
$ \begin{cases} -125y_1+123.05y_2 \approx (123.05-125)+(-125+1)(y_1-1)+(-1+123.05)(y_2-1);\\ 123.05y_1-123y_2 \approx 2.05+(-1+123.05)(y_1-1)+(1-123)(y_2-1);\\ \end{cases} $
Подсчитав всё, получаем:
$ \begin{cases} y_1 \approx -y_2;\\ y_1-y_2 \approx 2;\\ \end{cases} $
Но не могу разобраться, где оно будет устойчиво, и как построить точное решение на промежутке $[0, 0.5]$?

[Yu_K]

Собственные числа и вектора найдите матрицы $A$,$Y'=AY$, далее просто выпишется точное решение - наберите в гугле "решение линейных дифуров". И если все собственные числа отрицательны - то все "возмущения" будут затухать и решение будет устойчиво.

[Revael]

Yu_K в сообщении #567225 писал(а):

Собственные числа и вектора найдите матрицы $A$,$Y'=AY$, далее просто выпишется точное решение - наберите в гугле "решение линейных дифуров". И если все собственные числа отрицательны - то все "возмущения" будут затухать и решение будет устойчиво.

Благодарю за подсказку. Подсчитал собственные числа: $ \lambda_1=-247.054; \lambda_2=-0.946$ Да, в теории написано, что уравнение будет устойчиво при $a<0$, но $a$ мы находим за формулой $f(t,y) \approx f(t_0,y_0)+f'_t(t_0,y_0)(t-t_0)+f'_y(t_0,y_0)(y-y_0)$, где $a=f'_y(t_0,y_0)$? Честно говоря не очень пойму почему мы находим собственные числа, они идут в роли $a$? С векторами тоже не пойму.
Собственные вектора:
Для $ \lambda_1$:
$(-1.008,1)$
Для $ \lambda_2 $:
$(0.992,1)$
Решение будет строиться на промежутке $[0,0.5]$ с шагом $h=0.1$ за формулой?
$t_i=t_0+ih$:
$t_0=1$
$t_1=1+0.1=1.1$
$t_2=1+0.2=1.2$
$t_3=1+0.3=1.3$
$t_4=1+0.4=1.4$
$t_5=1+0.5=1.5$

[Yu_K]

Давайте отличать точное и приближенное решение. Найти точное решение системы не сложно, зная собст. значения и вектора. Ну а если нужно еще искать и приближенное, то посмотрите любую книгу по численным методам решения СИСТЕМ уравнений - определитесь с методом - пробуйте - дальше посмотрим.

[Revael]

Yu_K в сообщении #567318 писал(а):

Давайте отличать точное и приближенное решение. Найти точное решение системы не сложно, зная собст. значения и вектора. Ну а если нужно еще искать и приближенное, то посмотрите любую книгу по численным методам решения СИСТЕМ уравнений - определитесь с методом - пробуйте - дальше посмотрим.

А точное решение разве нельзя построить на промежутке с шагом? Задание у меня - построить точное решение на промежутке, решение методом Эйлера и Адамса.
Формула точного решения: $Y(t)=C_1U_1e^{ \lambda_1t }+C_2U_2e^{ \lambda_2t }+...+C_nU_ne^{ \lambda_nt }$ Где $U_n$ - сосбт. вектора, Y(t) = $ \left( \begin{array}{cc} y_1(t) \\ y_2(t) \end{array} \right)$
Т.е мое решение имеет вид:
$ \left( \begin{array}{cc} y_1(t) \\ y_2(t) \end{array} \right)$ = $C_1 \left( \begin{array}{cc} -1.008 \\ 1 \end{array} \right) e^{-247.054t}$ +$C_2 \left( \begin{array}{cc} 0.992 \\ 1 \end{array} \right)e^{-0.946t}$=$ \left( \begin{array}{cc} -1.008C_1e^{-247.054t} \\ C_1e^{-247.054t} \end{array} \right)$+$ \left( \begin{array}{cc} 0.992C_2e^{-0.946t} \\ C_2e^{-0.946t} \end{array} \right)$
И можно записать отдельно?
$y_1(t)$=$ \left( \begin{array}{cc} -1.008C_1e^{-247.054t} \\ C_1e^{-247.054t} \end{array} \right)$
$y_2(t)$=$ \left( \begin{array}{cc} 0.992C_2e^{-0.946t} \\ C_2e^{-0.946t} \end{array} \right)$

[Yu_K]

Если вектора и собственные числа найдены верно - то точное решение выписали правильно. Надеюсь собственные числа не кратные. Константы найдете из начальных условий. Можно теперь посмотреть и значения в конкретные дискретные моменты времени на промежутке с шагом.

А метод Адамса какого порядеа нужен? Пробуйте. Можно будет сравнить точное решение с приближенным.

[Revael]

Yu_K в сообщении #568632 писал(а):

Если вектора и собственные числа найдены верно - то точное решение выписали правильно. Надеюсь собственные числа не кратные. Константы найдете из начальных условий. Можно теперь посмотреть и значения в конкретные дискретные моменты времени на промежутке с шагом.

А метод Адамса какого порядеа нужен? Пробуйте. Можно будет сравнить точное решение с приближенным.

Собственные числа не кратные.
Возможно вопрос глупый, но я не пойму как найти константы из начальных условий?
В систему:

$ \begin{cases} y_1(t)=-1.008C_1e^{-247.054t}+0.992C_2e^{-0.946t} ;\\ y_2(t)=C_1e^{-247.054t}+C_2e^{-0.946t};\\ \end{cases} $
Подставить условие $y_1(0)=1, y_2(0)=1$ под $y_1(t), y_2(t)$?
Ну и дальше подставить $t=0, t=0.1, t=0.2, t=0.3, t=0.4, t=0.5$ ,записать в таблицу.
Метод Адамса эктраполяционный 2-го порядка, щас буду его разбирать, вместе с методом Эйлера.

[Revael]

Да, вспомнил, начальные условия подставить в уравнение и выразить константу :)
$ \begin{cases} 1=-1.008C_1+0.992C_2;\\ 1=C_1+C_2;\\ \end{cases} $
Получил:
$C_1=-0.004$, $C_2=1.004$

-- 08.05.2012, 20:19 --

Для $t=0$
$ \begin{cases} y_1(0)=1;\\ y_2(0)=1\\ \end{cases} $
Для $t=0.1$
$ \begin{cases} y_1(0.1)=-0,004032e^{-24.7054}+0,995968e^{-0.0946} ;\\ y_2(0.1)=-0.004e^{-24.7054}+1.004e^{-0.0946};\\ \end{cases} $
И так далее до $t=0.5$

[Revael]

Вы не знаете где можно найти теорию по методам Адамса для жестких систем? У меня только описан интерполяционный метод 3-го порядка, а мне надо экстраполяционный 2-го порядка, уже 3 книги просмотрел, метод Адамса я так понимаю не очень популярный...