Интересная особенность множителей числа.

[Побережный Александр]

Уважаемые софорумники, обнаружил интересную взаимосвязь между множителями числа. Хотелось бы услышать мнения и коментарии.
Любое число можно представить в виде $N=p*q=a^2-b^2$, где $p$ и $q$ множители числа $N$.
Оказывается, существует такая зависимость между указанными числами:
p^2+q^2=2*(a^2+b^2).
Вроде все мои примеры удовлетворяли соотношению. Более того, я даже доказать его могу в общем виде.
Буду признателен, если мне укажут на возможные ошибки.

[Sonic86]

Побережный Александр в сообщении #568506 писал(а):

Любое число можно представить в виде $N=p*q=a^2-b^2$, где $p$ и $q$ множители числа $N$.

Не любое, только если $2\not | N$ или сразу $4|N$. Числа $N=4k+2$ не представляются.
А так все просто: $p=a-b,q=a+b$, подставляем, проверяем. И вряд ли это что-то дает...

[vorvalm]

А тут и доказывать нечего.

[Nilenbert]

Побережный Александр в сообщении #568506 писал(а):

Любое число можно представить в виде $N=p*q=a^2-b^2$, где $p$ и $q$ множители числа $N$.

Я так понимаю, вы подразумеваете, что $a$ и $b$ должны быть натуральными? Можете ли вы найти такие $a$ и $b$, что $a^2-b^2=10$?

Побережный Александр в сообщении #568506 писал(а):

Оказывается, существует такая зависимость между указанными числами:
p^2+q^2=2*(a^2+b^2).
Вроде все мои примеры удовлетворяли соотношению. Более того, я даже доказать его могу в общем виде.
Буду признателен, если мне укажут на возможные ошибки.

Ок, давайте посмотрим. Мы имеем: $12=3\cdot4=4^2-2^2$, то есть $p=3, q=4, a=4, b=2$. Тогда:

$$ p^2+q^2=3^2+4^2=25\ne 40=2(4^2+2^2)=2(a^2+b^2) $$

[мат-ламер]

Допустим $p$ чётно, а $q$ нечётно. Тогда их сумма квадратов нечётная, что противоречит последнему равенству из первого поста. Не догоняю.

[Побережный Александр]

Прошу прощения за некорректную постановку вопроса! Я рассматривал ситуацию, когда число $N$ раскладывается только на два простых множителя $p$ и $q$, которые к тому же не равны 2. Надеюсь в этой формулировке соотношение будет работать.

[Nilenbert]

Побережный Александр в сообщении #568525 писал(а):

Я рассматривал ситуацию, когда число $N$ раскладывается только на два простых множителя $p$ и $q$, которые к тому же не равны 2.

Ну смотрите: $15=1\cdot 15=4^2-1^2$, т.е. $p=1,q=15, a=4, b=1$. Тогда:

$p^2+q^2=1+15^2=226\ne 34=2(4^2+1^2)=2(a^2+b^2)$

[Побережный Александр]

$15=1*15=8^2-7^2$
$1^2+15^2=226$
$2*(8^2+7^2)=2*(64+49)=2*113=226$
Все работает.

[Хорхе]

Если $p=a+b$, а $q=a-b$, то это правильно: $p^2+q^2=2(a^2+b^2)$. Я придумал поистине восхитительное доказательство, но поля слишком узки.

[Nilenbert]

А почему я должен в качестве $a$ и $b$ выбирать 8 и 7, а не 4 и 1? Или вы подразумеваете, что мы должны выбирать их в зависимости от $p$ и $q$? Тогда вы неверно сформулировали исходное предположение. Оно должно звучать так: "Для любых нечётных $p$ и $q$ найдутся такие $a$ и $b$, что $pq=a^2-b^2$ ". В таком виде это утверждение тривиально.