Целая часть

[Padawan]

Задача из учебника И.М. Виноградова по теории чисел.
Пусть положительные $\alpha$ и $\beta$ таковы, что

$$[\alpha x]; \ x=1,2,\ldots ; \ \ \ [\beta y]; \ y=1,2,\ldots$$

образуют, вместе взятые, все числа натурального ряда без повторений. Доказать, что это имеет место тогда и только тогда, когда $\alpha$ иррациональное, причём

$$ \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=1 . $$

[Хорхе]

Поля слишком узки. Лень писать. Эта задачка есть в "Зарубежных математических олимпиадах", она несложная.

[Padawan]

Хорхе
Намекните.

[Integrall]

Padawan в сообщении #568270 писал(а):

Доказать, что это имеет место тогда и только тогда, когда $\alpha$ иррациональное, причём...

иррациональность $\alpha$ вообще-то очевидна, иначе мы бы не получили всех простых чисел.

[Padawan]

Integrall
Еще $\beta$ есть.

[Integrall]

Padawan в сообщении #568286 писал(а):

Integrall
Еще $\beta$ есть.

правильно, с $\beta$ проблем не должно возникнуть. в одну сторону доказывается просто. Подберите $\alpha$ и $\beta$ так, чтобы одно порождало, скажем, четные числа, другое нечетные. Тогда они не будут мешеть друг другу.

[Padawan]

Integrall
Ничего не понимаю. Вы в какую сторону доказываете? $\Rightarrow$ или $\Leftarrow$ ?

[Shadow]

Об ирациональности...если $\alpha=\frac p q$, то при $x=q,2q,3q....$, получится $p,2p,3p\cdots$ т. е все кратные на p должны получится из первой последовательности. Если $\beta=\frac m n$, аналогично все кратные m получатся из второй последовательности. Тогда при НОК p,m получится противоречие. Но про ирациональности $\beta$ ничего не сказано, так что ето не проходит. По крайней мере не так легко.

[Хорхе]

Padawan в сообщении #568279 писал(а):

Хорхе
Намекните.

Необходимость очевидна. Для достаточности заметим такое: $ m<n\alpha \Leftrightarrow m>\beta(m-n) $.

Вообще забавная задачка. Если там в качестве $\alpha$ подставить золотое сечение, то получатся проигрышные позиции в игре (забыл, как она называется): есть две кучки, можно взять любое количество из одной кучки или поровну из обеих.

[Padawan]

Почему необходимость очевидна?

[Хорхе]

Ну то, что $1/\alpha+1/\beta=1$, следует из количественных соображений: иначе у нас натуральных чисел будет слишком много или, наоборот, слишком мало. А если $\alpha$ и $\beta$ рациональны, то последовательности, как нетрудно заметить, пересекаются.

[Padawan]

Хорхе
Спасибо!

[Sonic86]

Грэхем Кнут Паташник Конкретная математика, глава 3, упражнение 13. И решение вроде есть.
(можно искать по слову "Спектр числа").
Нам эту задачку на олимпиаде давали

[Хорхе]

(Оффтоп)

Sonic86 в сообщении #568374 писал(а):

Нам эту задачку на олимпиаде давали

А в каком году? Я просто в "Зарубежных" ее не нашел, хотя был уверен, что видел ее там. Может, я на самом деле во "Всероссийских" ее видел?

[Sonic86]

(Оффтоп)

Хорхе в сообщении #568377 писал(а):

А в каком году?

Если не совру, то у нас она в 2005 была на олимпиаде по Казахстану.