Сумма нормалей к граням равна 0

[INGELRII]

Дан произвольный выпуклый многогранник. К каждой грани построен нормальный вектор, длина которого равна площади этой грани. Доказать, что сумма всех этих векторов равна нулю.

(Оффтоп)

Одна из моих любимых задач. Решив ее в десятом классе, я прямо гордился собой

[Профессор Снэйп]

INGELRII в сообщении #568019 писал(а):

К каждой грани построен нормальный вектор, длина которого равна площади этой грани.

А куда этот вектор направлен, наружу или внутрь?

[INGELRII]

Профессор Снэйп
Либо все вектора направлены наружу, либо все внутрь. Из этих двух вариантов выбирайте любой, какой больше понравится. На сумму-то это не повлияет.

[Профессор Снэйп]

Допустим, все нормальные вектора направлены наружу (или все внутрь, но, конечно же, не вразнобой).

Многогранник можно разбить на тетраэдры и просуммировать суммы нормалей по всем тетраэдрам. При этом если два тетраэдра имеют смежную грань, то соответствующие этой грани нормали от двух тетраэдров в общей сумме сократятся. Следовательно, утверждение достаточно доказать для тетраэдра.

-- Вс май 06, 2012 21:00:22 --

INGELRII в сообщении #568023 писал(а):

Либо все вектора направлены наружу, либо все внутрь. Из этих двух вариантов выбирайте любой, какой больше понравится. На сумму-то это не повлияет.

Да это понятно, главное, чтоб не вразнобой: какие-то наружу, а какие-то внутрь

-- Вс май 06, 2012 21:06:33 --

Ну а для тетраэдра есть такая замечательная штука, как векторное произведение. Если в пространстве даны три точки $A, B, C$, то $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ равно вектору, направленному по нормали к плоскости $(ABC)$, и величина этого вектора равна удвоенной площади треугольника $ABC$. Остаётся аккуратно выписать сумму векторных произведений, а затем всё сократить

[Oleg Zubelevich]

INGELRII в сообщении #568019 писал(а):

Дан произвольный выпуклый многогранник. К каждой грани построен нормальный вектор, длина которого равна площади этой грани. Доказать, что сумма всех этих векторов равна нулю.

(Оффтоп)

Одна из моих любимых задач. Решив ее в десятом классе, я прямо гордился собой

Выделим этот многогранник. На каждую грань действует сила давления воздуха пропорциональная площади этой грани и направленная перепендикулярно грани. Но от того, что многогранник выделили он ведь ни куда не поедет

[Edward_Tur]

Профессор Снэйп в сообщении #568024 писал(а):

Следовательно, утверждение достаточно доказать для тетраэдра.

Пускай вектора $\vec a,\vec b,\vec c$ образуют тетраэдр, тогда утверждение сводится к очевидному тождеству:
$(\vec a - \vec b) \times (\vec b - \vec c) = \vec a \times \vec b + \vec b \times \vec c + \vec c \times \vec a$.

[Профессор Снэйп]

Давайте, чтобы не быть голословным, аккуратно проделаю выкладки.

Пусть $ABCD$ - тетраэдр, $\overrightarrow{AB} = a$, $\overrightarrow{AC} = b$, $\overrightarrow{AD} = c$. Нам надо доказать, что

$$ a \times b + b \times c + c \times a + (a - b) \times (c - b) = 0 $$

Имеем

$$ \begin{array}{c} a \times b + b \times c + c \times a + (a - b) \times (c - b) = \\ a \times b + b \times c + c \times a + a \times c - b \times c - a \times b + b \times b = \\ c \times a + a \times c + b \times b = 0 \end{array} $$

Используем такие свойства векторного произведения, как линейность по обоим аргументам и антикоммутативность. Из антикоммутативности, в частности, следует $b \times b = 0$.

А Вы как в десятом классе решали?

[Padawan]

Обобщение.
Дано произвольное тело, ограниченное кусочно-гладкой поверхностью $S$. В каждой точке поверхности построена единичная внешняя нормаль $\vec n$. Тогда$\int_S \vec n dS=0$.

[Профессор Снэйп]

Oleg Zubelevich в сообщении #568033 писал(а):

Выделим этот многогранник. На каждую грань действует сила давления воздуха пропорциональная площади этой грани и направленная перепендикулярно грани. Но от того, что многогранник выделили он ведь ни куда не поедет

Вот это я не совсем понимаю.

Если многогранник просто "выделили" в сплошной среде (допустим, натянули плёнку по контуру многогранника, ничего в среде не меняя), то сила давления действует на каждую грань с обоих сторон: снаружи и изнутри. Результирующая этих двух сил равна нулю.

А если выделили, а потом изнутри (либо снаружи) откачали среду (можно считать, что это был газ), то... Почему он никуда не поедет? У меня кроме фразы "вечный двигатель невозможен" ничего в голове не возникает. А действительно ли он невозможен? И будет такой двигатель (если он получится) вечным, не будет ли происходить каких-нибудь потерь энергии при движении?

Вообще, правомерно ли решать математические задачи ссылкой на физические законы? А вдруг именно в том моменте, который мы используем, физика неадекватно описывает реальность? К примеру, мы начнём ссылаться на ньютоновские законы гравитации, а ведь надо учитывать релятивистские поправки! И не важно, что там скорости малы, ведь для математических утверждений требуется абсолютная, а не практическая точность.

[Oleg Zubelevich]

Профессор Снэйп в сообщении #568046 писал(а):

Если многогранник просто "выделили" в сплошной среде

именно так, просто выделили

Профессор Снэйп в сообщении #568046 писал(а):

то сила давления действует на каждую грань с обоих сторон: снаружи и изнутри. Результирующая этих двух сил равна нулю.

надо просто правильно выбрать систему.
выберем систему, которая состоит из воздуха внутри выделенного многогранника. на эту систему действуют внешние силы со стороны атмосферы, сумма этих сил равна произведению массы воздуха внутри многогранника на ускорение центра масс этого воздуха (который внутри) -- теорема о движении центра масс

Профессор Снэйп в сообщении #568046 писал(а):

Вообще, правомерно ли решать математические задачи ссылкой на физические законы?

нет, не правомерно, просто я хотел показать, что этот факт очевиден физически, вообще без всяких формул

[miflin]

Oleg Zubelevich в сообщении #568091 писал(а):

просто я хотел показать, что этот факт очевиден физически, вообще без всяких формул

Хорошее замечание. Только, быть может, стоило упомянуть, хотя это
и очевидно, об однородном распределении давления, а то летают
тут всякие воздушные шарики, подводные лодки всплывают...

Вспоминаю, на лекциях по физике не единожды звучала фраза -
из физических соображений очевидно, что этот интеграл равен нулю.

[Nilenbert]

Ну тогда имеет смысл напомнить, что это знаменитая Теорема Минковского о многогранниках

[g______d]

Насколько я помню, для тетраэдра можно еще так (это то же самое, конечно) --- спроектировать вершину на грань, тогда равенство нулю суммы нормалей будет равносильно тому, что площади треугольников, получаемых из остальных трех граней при проекции, дают в сумме площадь четвертой грани.

[Профессор Снэйп]

g______d в сообщении #568123 писал(а):

Насколько я помню, для тетраэдра можно еще так (это то же самое, конечно) --- спроектировать вершину на грань, тогда равенство нулю суммы нормалей будет равносильно тому, что площади треугольников, получаемых из остальных трех граней при проекции, дают в сумме площадь четвертой грани.

А проекция ортогональная? Если да, то может и не получиться (в случае, когда проекция четвёртой вершины окажется за пределами грани).

[g______d]

Профессор Снэйп в сообщении #568151 писал(а):

А проекция ортогональная? Если да, то может и не получиться (в случае, когда проекция четвёртой вершины окажется за пределами грани).

Да, ортогональная. Действительно, нужно действовать аккуратнее, рассматривать ориентируемые площади. И еще я подозреваю, что с какой-то из 4 граней должно повезти :)

-- 07.05.2012, 00:12 --

Все не так. Нам нужно минимум 3 грани, т. к. с одной гранью мы получаем только зануление одной проекции суммы нормалей, а не всего вектора. Поэтому без ориентированных площадей не обойтись.