Простая задача с заумной формулировкой

[Ktina]

Пусть $n, m\in\mathbb Z$
Равносильны ли два следующих утверждения?

1. Уравнение $n^2+m^2+x^2=y^2$ имеет решение в целых $x$ и $y$
2. Произведение $mn$ чётно.

[Shadow]

Да. Первое утверждение равносильно
$n^2+m^2 \ne 2 \pmod 4$, т.е m и n не могут быть одновременно нечетные. Второе то же самое

[Ktina]

Shadow в сообщении #567589 писал(а):

Да. Первое утверждение равносильно
$n^2+m^2 \ne 2 \pmod 4$, т.е m и n не могут быть одновременно нечетные. Второе то же самое

"Равносильно", насколько я знаю, это когда в обе стороны, то есть "тогда и только тогда".

-- 05.05.2012, 12:58 --

В принципе, тут нужно доказать два утверждения: "ели 1, то 2" и "если 2, то 1".
Но можно сделать так, как Вы. Равносильность, она ведь транзитивна. Если $A$ равносильно $C$, и $B$ равносильно $C$, то $A$ равносильно $B$.

[Shadow]

$n^2+m^2$ представимо в виде разности квадратов "тогда и только тогда", когда хотя бы одно из них четное

[Ktina]

Shadow в сообщении #567598 писал(а):

$n^2+m^2$ представимо в виде разности квадратов "тогда и только тогда", когда хотя бы одно из них четное

Да, я уже дополнила предыдущий пост.