Неявная схема для нелинейного PDE

[AndreyL]

Дамы и Господа! Чего-то запутался. Есть нелинейное дифференциальное уравнение

$$c\left( u \right){\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {\partial}{\partial x}}\left[k\left( u \right){\frac {\partial u}{\partial x}}\right]$$

где теплоемкость и теплопроводность являются функциями температуры. Строим неявную разностную схему по Самарскому (1977, стр.455, ур. 34 и 36). В некоторых публикациях это делается так:

$$\frac{\hat{y}_i-y_i}{\tau }=\frac{1}{h} \left [ a_{i+1}(y)\frac{\hat{y}_{i+1}-\hat{y}_i}{h}-a_{i}(y)\frac{\hat{y}_{i}-\hat{y}_{i-1}}{h}\right ]$$

$$a_i(v)=0.5 \left [ K(v_{i-1})+K(v_{i})\right ]; K(v)=k(v)/c(v)$$

т.е. через коэффициент температуропроводности, который в свою очередь зависит от температуры. Но тогда исходное дифференциальное уравнение подменяется уравнением

$${\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {\partial}{\partial x}}\left[\frac{k\left( u \right)}{c\left( u \right)}{\frac {\partial u}{\partial x}}\right]$$

По-моему это неверно, и эта схема должна выглядеть так

$$c(y_i)\frac{\hat{y}_i-y_i}{\tau }=\frac{1}{h} \left [ a_{i+1}(y)\frac{\hat{y}_{i+1}-\hat{y}_i}{h}-a_{i}(y)\frac{\hat{y}_{i}-\hat{y}_{i-1}}{h}\right ]$$

$$a_i(v)=0.5 \left [ k(v_{i-1})+k(v_{i})\right ]$$

и никакого коэффициента температуропроводности не надо, считать просто в лоб через теплоемкость и теплопроводность.

У Самарского этот нюанс, к сожалению, не освещен. Подскажите, пожалуйста, как правильно?

[Integrall]

AndreyL в сообщении #567195 писал(а):

Есть нелинейное дифференциальное уравнение

$$c\left( u \right){\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {\partial}{\partial x}}\left[k\left( u \right){\frac {\partial u}{\partial x}}\right]$$

где теплоемкость и теплопроводность являются функциями температуры. Строим неявную разностную схему по Самарскому (1977, стр.455, ур. 34 и 36). В некоторых публикациях это делается так:

$$\frac{\hat{y}_i-y_i}{\tau }=\frac{1}{h} \left [ a_{i+1}(y)\frac{\hat{y}_{i+1}-\hat{y}_i}{h}-a_{i}(y)\frac{\hat{y}_{i}-\hat{y}_{i-1}}{h}\right ]$$

$$a_i(v)=0.5 \left [ K(v_{i-1})+K(v_{i})\right ]; K(v)=k(v)/c(v)$$

т.е. через коэффициент температуропроводности, который в свою очередь зависит от температуры. Но тогда исходное дифференциальное уравнение подменяется уравнением

$${\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {\partial}{\partial x}}\left[\frac{k\left( u \right)}{c\left( u \right)}{\frac {\partial u}{\partial x}}\right]$$

По-моему это неверно

у вас ошибка. Продифференцируйте правую часть исходного уравнения по $x$.

[AndreyL]

Integrall в сообщении #567204 писал(а):

у вас ошибка. Продифференцируйте правую часть исходного уравнения по $x$.

так

$${\frac {\partial}{\partial x}}\left[k\left( u \right){\frac {\partial u}{\partial x}}\right]=\frac{d k}{d u} \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right)^2+k \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

только я не понял, в чем состоит моя ошибка?

[Integrall]

AndreyL в сообщении #567267 писал(а):

только я не понял, в чем состоит моя ошибка?

sorry, ошибки здесь вашей нет. Я неразобрался сначала, что вы исходите из разностной схемы ко второму диф. уравнению, которое, вообще говоря, имеет смысл только для случая изотропной однородной среды. Если же теплоёмкость среды зависят от температуры (изотропная неоднородная среда), то загнав ее под оператор Лапласа, мы нарушаем тепловой баланс. И диф.ур. никакого физического смысла не имеет. Поэтому остается только одно - в разностной схеме опечатка

$$a_i(v)=0.5 \left [ K(v_{i-1})+K(v_{i})\right ]; K(v)=k(v)/c(y_i)$$

[TOTAL]

AndreyL в сообщении #567195 писал(а):

Дамы и Господа! Чего-то запутался. Есть нелинейное дифференциальное уравнение

$$c\left( u \right){\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {\partial}{\partial x}}\left[k\left( u \right){\frac {\partial u}{\partial x}}\right]$$

где теплоемкость и теплопроводность являются функциями температуры. Строим неявную разностную схему по Самарскому (1977, стр.455, ур. 34 и 36). В некоторых публикациях это делается так:

У Самарского по указанному адресу так не делается.

[AndreyL]

TOTAL в сообщении #567466 писал(а):

У Самарского по указанному адресу так не делается.

У Самарского уравнение выглядит как

$${\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {\partial}{\partial x}}\left[k\left( u \right){\frac {\partial u}{\partial x}}\right]+f\left( u \right)$$

т.е. рассматривается "простейшее квазилинейное уравнение теплопроводности", где изменение теплоемкости не учитывается. На страницах 458-459 уже выписано уравнение теплопроводности с переменной теплоемкостью (в рамках решения задачи Стефана), но построение схемы в явном виде не дано, сказано только, что "можно использовать описанные выше схемы".

[TOTAL]

Вот описанная выше схема

$$c_i\frac{\hat{y}_i-y_i}{\tau }=\frac{1}{h} \left( k_{i+1/2}\frac{\hat{y}_{i+1}-\hat{y}_i}{h}-k_{i-1/2}\frac{\hat{y}_{i}-\hat{y}_{i-1}}{h}\right), \;\; k_{i+1/2}=\left( k_{i+1}+k_{i}\right)/2$$

[AndreyL]

Вот и я так думаю. Подскажите, пожалуйста, на что можно сослаться в публикации, где бы указывалась именно эта схема. Желательно для задачи теплопроводности с фазовым переходом, размазанным в интервале температур. И желательно на английском, а то зарубежные коллеги упорно используют схему, которую я привел в первом посте (на самом деле у них просто для нее есть готовый алгоритм).

[TOTAL]

Если обязательно надо сослаться, то сошлитесь на Самарского. Все равно никто на ссылку обращать внимания не будет, потому что это очевидная вещь, как "дважды два равно четыре".

[AndreyL]

TOTAL в сообщении #567554 писал(а):

Все равно никто на ссылку обращать внимания не будет, потому что это очевидная вещь, как "дважды два равно четыре".

Как раз эту ссылку будут смотреть, и смотреть будут те ребята, которые считают по неправильной схеме. У них вроде тоже "дважды два равно четыре", только эта "четыре" почему-то другая.

-- Сб май 05, 2012 12:02 pm --

И вот еще. Правильно ли я понимаю, что при неравномерной сетке схема будет такая

$$c_i\frac{\hat{y}_i-y_i}{\tau }=\frac{1}{\left( x_{i+1}-x_{i-1} \right) /2} \left( k_{i+1/2}\frac{\hat{y}_{i+1}-\hat{y}_i}{x_{i+1}-x_i}-k_{i-1/2}\frac{\hat{y}_{i}-\hat{y}_{i-1}}{x_i-x_{i-1}}\right), \;\; k_{i+1/2}=\left( k_{i+1}+k_{i}\right)/2$$