Подозрительно лёгкая задача с Кубка Памяти Колмогорова

[Ktina]

Ни для кого не секрет, что на КПК лёгких задач почти не бывает. Вот я и задумалась: это мне одной она лёгкой показалась, или она и вправду является исключением, подтверждающим правило?

А вот и сама задача прилетела:

Каждое целое число окрашено либо в красный цвет, либо в синий. Известно, что если $x$ - красное число, то $x-1$ - синее, а если для некоторых целых $y$ и $z$ число $yz$ - синее, то число $y+z$ - красное. Найти все такие раскраски.

[Doil-byle]

Ну, чётные и нечётные. y$$ и $z$ - нечётные.

[Dave]

Ответ: Единственная раскраска, удовлетворяющая условию - это когда все чётные числа прокрашены в красный цвет, а все нечётные - в синий.

Последовательность рассуждений такая:
1) $0=0 \cdot 0=0+0$, откуда следует, что $0$ не может быть окрашен в синий цвет, иначе, взяв $y=z=0$, получим, что он должен быть красным.
2) Число $-1=0-1$ - синее.
3) Пусть число $x$ синее. Т.к. $x=(-x) \cdot (-1)$, то число $-x-1$ - красное, а $-x-2$ - опять синее. Кроме этого, $-x$ тоже синее, т.к. иначе $-x-1$ должно было быть синим, что не так.
4) Из 3) следует, что если число $x$ синее, то и $x+2=-(-x-2)$ - тоже синее.
5) Из 2) и 4) следует, что все положительные нечётные числа - синие.
6) Из 3) и 5) следует, что все нечётные числа - синие.
7) Пусть $n \in \mathbb Z$. Т.к. число $(2n-1) \cdot 1$ - нечётное, то из 6) следует, что оно синее, и из условия задачи следует, что число $2n=(2n-1)+1$ - красное. Значит все чётные числа - красные.

[hippie]

Предлагаю чуть-чуть другое решение.
При $z=1$ из второго условия получаем: если $y$ синее, то $y+1$ красное. С учётом первого условия — 2 одноцветных числа не могут идти подряд.
Следовательно, синие и красные числа чередуются (т.е. чётные числа одного цвета, а нечётные другого).
$0\cdot 0 = 0 = 0+0$ не может быть синим числом.
Следовательно, единственная возможная раскраска: чётные — красные; нечётные — синие.
Проверкой убеждаемся, что такая раскраска подходит.