Лемма об опорной гиперплоскости

[vanja]

есть такая лемма :
$S$-замкнутой, выпуклое,$S \subset R_m,y \notin S$, тогда существует такой набор $\{\alpha_i\}^m$и число $\beta$, что $\sum\limits_{i=1}^m \alpha_iy_i=\beta,\sum\limits_{i=1}^m \alpha_iu_i>\beta$, для любого вектора $u \in S$
далее идет док-во, начинается оно с такой строчки:
$\exists z: |z-y|\leq |u-y|, \text{для любого} u \in S$
дак вот хотелось бы понять почему существует $z$ и всегда ли он существует??

[ewert]

vanja в сообщении #566850 писал(а):

начинается оно с такой строчки:
$\exists z: |z-y|\leq |u-y|, \text{для любого} u \in S$

Конечно, существует: например, $z=y$.

А если серьёзнее, то Вы явно кое-что про этот $z$ не договорили.

[vanja]

дак вот смотрю и не могу понять, мб что-то пропустил на лекции, т.к. следующая строчка такая
$ut+z(-t+1) \in S ,t\in [0;1]$, что тоже вызывает вопрос, почему принадлежит S
очень надеюсь на помощь в разъяснении

[ewert]

vanja в сообщении #566914 писал(а):

мб что-то пропустил на лекции, т.к. следующая строчка такая

мб, но пока что это бессмысленно. Пока что восстановите, что там конкретно было на лекции: что там за зет?... откуда конкретно тот зет?... -- тогда, может, и очевиднее станет...

[RIP]

Зачем же мучить человека? Про $z$ пропущено то, что $z\in S$. То есть $z$ — это ближайшая к $y$ точка множества $S$. Она существует, поскольку $S$ замкнуто; правда, это док-во годится только для непустого $S$ (а для пустого $S$ лемма очевидна).

[vanja]

RIP, т.е. z ближайшая к $y$ на границе? и еще вопрос почему вот далее, как я писал, можно утверждать, что $ut+z(-t+1) \in S ,t\in [0;1]$?

[RIP]

vanja в сообщении #566980 писал(а):

т.е. z ближайшая к $y$ на границе?

просто ближайшая. но разумеется, она будет граничной.

vanja в сообщении #566980 писал(а):

почему вот далее, как я писал, можно утверждать, что $ut+z(-t+1) \in S ,t\in [0;1]$?

вспомните определение выпуклого множества.

[vanja]

насколько понимаю, то вот :множество $S$- выпуклое, если вместе с любыми двумя точками $x_0,x_1 \in S$множеству $S$ принадлежат все точки$x_t$ отрезка, соединяющего в пространстве точку $x_0$ с точкой $x_1$

-- Чт май 03, 2012 21:37:54 --

т.е. из этого определения следует, что можно рассматривать отрезок $tu+(1-t)z$ и двигать его при $t \rightarrow 0$ с уверенностью, что он остаётся внутри $S$?

[RIP]

vanja в сообщении #566997 писал(а):

т.е. из этого определения следует, что можно рассматривать отрезок $tu+(1-t)z$ и двигать его при $t \rightarrow 0$ с уверенностью, что он остаётся внутри $S$?

$tu+(1-t)z$ — это точка, а не отрезок. Когда $t$ пробегает отрезок $[0,1]$ (при фиксированных $z,u$), эта точка (зависящая от $t$) пробегает как раз отрезок, соединяющий точки $z$ и $u$. И откуда Вы вообще условие $t\to0$ выкопали?
(Вообще, если даже простые вещи вызывают такие затруднения, я даже не представляю, как Вам объяснять док-во леммы. Я бы посоветовал попробовать поискать помощи не в интернете, а среди знакомых, потому что объяснять, чувствую, надо много и долго. Уж извините за прямоту.)

[vanja]

да вот в том то и дело, что не к кому обратиться :\ а условие это дальше, предельный переход что ли
ладно, буду дальше самостоятельно разбираться, спасибо!