Получим теперь бесконечные серии решений, зависящие от двух параметров
![$m,n$ $m,n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/2/4/924c2a38ef139efbe6801016f51628cd82.png)
.
Воспользуемся тем, что
![$1=1^2+(m^2+n^2)^2-(2mn)^2-(m^2-n^2)^2$ $1=1^2+(m^2+n^2)^2-(2mn)^2-(m^2-n^2)^2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/1/c/e1c044e4bc15acd7b5bb0d8abd436b3b82.png)
Положим
![$x=k+2,y=1,z=k+1,u=2$ $x=k+2,y=1,z=k+1,u=2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/e/19e40b0738397b287f4f208c10b2adb082.png)
,
![$x_1=1, y_1=m^2+n^2, z_1=2mn,u_1=m^2-n^2$ $x_1=1, y_1=m^2+n^2, z_1=2mn,u_1=m^2-n^2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/1/b/51b4b08a77218457f610f3896c91a78082.png)
.
Из формул для
![$x_2,y_2,z_2,u_2$ $x_2,y_2,z_2,u_2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/3/f/93f3410227ef081c4a5fd1b301a1343582.png)
из предыдущего сообщения, получаем следующее:
![$(2mnk+k+n^2-3m^2+2mn+2)^2+(2km^2+3m^2+n^2+4mn+1)^2
-(2mnk+k+4mn+3m^2+n^2+1)^2-(2m^2k+3m^2-n^2-2mn-2)^2=2k$ $(2mnk+k+n^2-3m^2+2mn+2)^2+(2km^2+3m^2+n^2+4mn+1)^2
-(2mnk+k+4mn+3m^2+n^2+1)^2-(2m^2k+3m^2-n^2-2mn-2)^2=2k$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/4/e/34e8e6f64736ece949f9e2cd19a1397782.png)
- представление для четного числа.
Полагая
![$x=k+2,y=k+2,z=k,u=k+3$ $x=k+2,y=k+2,z=k,u=k+3$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/e/6/8e648178d77dd95a6462161291f6703182.png)
и
![$x_1=1, y_1=m^2+n^2, z_1=2mn,u_1=m^2-n^2$ $x_1=1, y_1=m^2+n^2, z_1=2mn,u_1=m^2-n^2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/1/b/51b4b08a77218457f610f3896c91a78082.png)
используя те же формулы, получаем представление нечетного числа:
![$(k-2km^2+2kmn-5m^2+n^2+2)^2+(2km^2+2kmn+k+2m^2+2n^2+6mn+2)^2-(k+2kmn+2km^2+5m^2+n^2+4mn)^2-(k-2km^2+2kmn+4mn+2n^2-2m^2+3)^2=2k-1$ $(k-2km^2+2kmn-5m^2+n^2+2)^2+(2km^2+2kmn+k+2m^2+2n^2+6mn+2)^2-(k+2kmn+2km^2+5m^2+n^2+4mn)^2-(k-2km^2+2kmn+4mn+2n^2-2m^2+3)^2=2k-1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/a/0/fa0e07199a972ea460a3596a173b257c82.png)
![$m,n$ $m,n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/2/4/924c2a38ef139efbe6801016f51628cd82.png)
- целые числа. Из выражений для
![$2k$ $2k$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/1/7/f1738bbe3646e5962be59daa0aa34d5682.png)
и
![$2k-1$ $2k-1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/2/032eab123b74896095dbb01e5d7e6ec282.png)
видно, что бесконечным числом способов всегда можно выбрать
![$m,n$ $m,n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/2/4/924c2a38ef139efbe6801016f51628cd82.png)
так, чтобы составляющие в круглых скобках все не равнялись нулю.
Выбирая значения
![$x,y,z,u$ $x,y,z,u$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/6/c/26c0113150fe0cf540a9c0cf8c155a6982.png)
другим образом, получим новые серии представления.
Например,для
![$2k$ $2k$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/1/7/f1738bbe3646e5962be59daa0aa34d5682.png)
:
![$x=3k+2,y=2k+9,z=3k+9,u=2k-2$ $x=3k+2,y=2k+9,z=3k+9,u=2k-2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/e/8/6e807db9132b03c1c72e82cff8256a0782.png)
Для
![$2k-1$ $2k-1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/2/032eab123b74896095dbb01e5d7e6ec282.png)
:
![$x=k-2,y=5k+12,z=5k+10,u=k+7$ $x=k-2,y=5k+12,z=5k+10,u=k+7$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/c/2/5c2c85864ec75b5fcd8c4a8394d4d3af82.png)
.