Цитата:
Не могу согласиться. Современная геометрия базируется на понятии многообразия.
Тогда претензии не ко мне, а к авторам "Современной геометрии" - Дубровину, Новикову и Фоменко. Том 1, стр. 17:
"...длины и углы тесно связаны с понятием скалярного произведения между векторами. В дальнейшем именно скалярное произведение будет взято за основное, первичное понятие, на котором строится геометрия."Понятие многообразия они так же вводят как фундаментальное, но в начале второго тома. К тому же тут же признают, что оно получилось излишне широким и его не мешает немного сузить, к чему и приступают в дальнейшем методами общей топологии.
Мне позиция этих авторов ближе, тем более, что с одним из них удалось поговорить лично и на меня он произвел благоприятное впечатление. Этот автор, кстати, так же не имел ничего против коротко описанной ему программы на ближайшее будущее по классификации всех непрерывных симметрий четырехмерного пространства с метрикой Бервальда-Моора. Чем еще больше понравился.:)
Скажите, а Ваше убеждение в первичности понятия многообразия для геометрии, а не скалярного произведения, хоть раз принесло Вам что ни будь похожее на новую геометрию, или хотя бы новую методологию в известной геометрии?
Цитата:
Это не совсем то. Изначальный вопрос был не в том, что будет, если изменить какие-то аксиомы, а то, приведет ли это к неминуемому противоречию.
На Вас не угодишь. Вы, кстати, так и не ответили на мой вопрос касательно конкретных математиков, кто мотивацию исследований Лобачевского по новой геометрии до 1862 года признавал за "полностью мотивированную".
Цитата:
Я не знаю, были ли в их работах рассмотрены еще какие-то приложения. Несмотря на это, они нашлись очень быстро.
Ну да, спустя более тридцати лет. Никто из "виновников" не дожил до этих самых "быстрых" приложений..
Цитата:
Думаю, что его целью было классифицировать алгебры.
Вы обещали привести пример мотивированности исследований, исходя из потребностей физических задач. Тем более, что плоскость двойной переменной так же "быстро" как и геометрия Лобачевского оказалась таки востребованной.
Цитата:
Вы, кстати, так и не объяснили, как геометрия возникает из структуры алгебры. Если не хотите здесь писать, дайте, пожалуйста, ссылку на внятный текст. Мне интересно, какое отношение конформные преобразования могут иметь к умножению в алгебре.
Судя по придиркам, внятными Вы считаете тексты, написанные исключительно на родном для Вас языке. Можете поискать их в интернете сами. Я же могу дать лишь ссылки на тексты написанные физиками-теоретиками. В частности, посмотрите еще раз книгу Гарасько:
http://hypercomplex.xpsweb.com/page.php?lang=ru&id=487(иконка справа внизу под аннотацией)
Начиная со страницы 127 и далее, пока не надоест. Скоро выйдет 16 номер нашего журнала. Там будет большая статья Кокарева. Думаю, ее так же стОит почитать. В ней много, полагаю, будет для Вас интересно, в том числе, и в отношении обсуждавшегося тут вопроса "нестандартной" топологии, стоящей за псевдоевклидовой плоскостью и другими пространствами Бервальда-Моора.
Конформные же преобразования имеют отношение не столько к умножению, сколько к аналитическим функциям. На кватернионах умножение так же есть, а вот с конформными преобразованиями в соответствующем пространстве совсем плохо. Всего 15-параметрическая группа. Кстати, в точности равная группе аналитических функций кватернионной переменной.
Цитата:
По современным стандартам это абсолютно мотивированно. Лобачевский опередил свое время.
То есть, Лобачевскому можно было заниматься задачами, мотивацию которых (как математическую, так и физическую) современники не особенно замечали? А нам нельзя даже пытаться.. Понятно..
Цитата:
Ну против этой метрики я абсолютно ничего не имею. Почему она является мотивацией, например, к переходу к пространству Бервальда-Моора?
В такой геометрии с положительной определенностью с точки зрения возможных физических интерпретаций нет временнОго измерения. Ровно по той же причине, вместо кватернионов Гамильтона с их четырехмерным евклидовым пространством физики предпочли пространство Минковского. Между геометрией с четвертыми степенями, о которой говорил Риман, и Бервальдом-Моором - примерно такая же связь, как между четырехмерным Евклидом и Минковским. В Бервальде-Мооре с его знаконеопределенной метрической функцией есть место для временнОй координаты и трех пространственных, вернее, очень похожих на них..
Цитата:
Я не знаю точной терминологии. Под финслеровостью я имел в виду сводящиеся к классическому определению финслерова пространства, т. е. обладающие положительностью и однородностью. Например, сумма четвертых степеней. Или, что то же самое, задана структура нормированного пространства в каждом касательном пространстве. Классификация полилинейных форм сложнее, но что такое положительность --- понятно.
Все правильно. Если выражаться строго, то финслеровыми можно называть только первые пространства. Но часто физики используют этот термин и для псевдофинслеровых пространств. Обычно все и так становится ясно из контекста. И путаницы не происходит.
Цитата:
Имел, конечно. Никто запретить не может. В принципе, попытка рассмотреть СТО и ОТО в пространстве другого типа --- почему бы и нет? Но надо честно писать новый лагранжиан, уравнения движения, обосновывать предельный переход к Минковскому. Этим занимаются в том числе и Ваши коллеги, и против этого я ничего не имею. Но они по крайней мере стараются работать в рамках современной физики и принципов построения физических теорий.
Под коллегами Вы сейчас кого понимали? Специалистов по классической финслеровой геометрии, то есть, работающих с двухиндексным метрическим тензором, зависящим от направления в касательном пространстве? Или тех, кто согласился с лучшими перспективами для физики аксиом полилинейной симметрической формы от
векторов?
Если первых, то наиболее авторитетные из них (в частности Шен, Бао, Балан) сами признают что подход нашей маленькой группы ближе к реальной физике. Если вторых, то они как раз совершенно честно выписывают Лагранжианы, полевые уравнения, начальные и граничные условия. Но это совсем не означает, что не имеет права на жизнь и совсем иная методология, о которой пытаюсь иногда говорить я, в частности, связанная с построением алгебраических предфракталов в пространстве четверных чисел.
Цитата:
Возможно, здесь я перегнул палку.
И то хлеб. А то я было решил, что мне не только за физические построения моих соавторов отдуваться перед Вами придется, но и еще за добрую половину современных физиков..
Цитата:
И против этого я ничего не имею. Любой человек имеет право заниматься любым разделом математики. Но если тенденции и мейнстрим меняются (даже сейчас), то стандарты строгости не могли эволюционировать по-другому. То же самое с физикой. Если Вы не соответствуете ни стандартам математической строгости, ни принципам построения физических теорий, то изолируете себя от научного мира. Если хотите, чтобы Вас признавали математики, формулируйте и доказывайте теоремы. Если физики, то пишите лагранжианы (условно говоря).
С чего вы решили, что мы от кого-то себя изолируем? На наших конференциях за восемь лет их проведения побывали математики и физики из сорока стран. Просто то, чем и как занимается наша группа, находится довольно далеко даже от принятых канонов современной финслеровой геометрии. Но у них, в отличие от неспециалистов, хватает понимания, что наш путь не менее и даже более обоснован, чем их классический, а так же имеется определенное снисхождение к тому, что идущие первыми имеют право как на ошибки, так и на различного рода нестандартные приемы. Лишь бы толк в конце концов получился. Навести потом математический и физический глянец - не так уж и сложно. В случае, конечно, если в этом будет смысл и потребность.
Цитата:
Я слышал это от Вас и раньше, но не прокомментировал. Я не понимаю, как можно считать кватернионы менее естественным объектом, чем бикомплексные числа.
В отличие от Вас, я уважительно отношусь к седой истории математики. В частности, к истории появления в алгебре, геометрии и физике кватернионов Гамильтона. Много лет назад мне попался на глаза отрывок, в котором Гамильтон описывал один из своих математических опытов с четырехкомпонентными числами, отличными от кватернионов. Это была алгебра бикомплексных чисел, приводившая к геометрии четырехмерного пространства с формой четвертого порядка. Поскольку Гамильтон заранее был настроен на поиск такой конструкции, в которой должны были фигурировать только суммы квадратов, он отбросил этот вариант. Однако, если б он заранее знал, что ни ему, ни кому другому не удастся на кватернионах получить естественное и бесконечнопараметрическое множество аналитических функций, думаю, он бы мог сделать и другой выбор, не смотря на его кажущуюся бессмысленность. В этом случае, учитывая математический уровень автора, и его нацеленность на наличие в геометрии, кроме пространственных координат хотя бы одной временнОй, он неминуемо вышел бы, и на четверные числа, и на четырехкомплексные. А от последних до пространства Минковского рукой подать. Но только не тем путем, каким к нему пришли в реализовавшемся в истории прошлого века варианте, а прямо противоположным, причем через алгебры с богатейшими множествами не только конформных преобразований, но и поликонформных. Такая логика более понятна?
Цитата:
Вы согласны, я думаю, с задачей описать все возможные алгебры. Ну так и комплексные числа, и кватернионы возникают как простые алгебры, "кирпичики", из которых состоят все остальные алгебры. Они в некотором смысле неделимы и не являются прямой суммой более простых. В отличие от бикомплексных чисел, двойных чисел и т. д. Кватернионы возникают как важная часть ответа на вопрос "какие вообще бывают на свете алгебры", а бикомплексные числа --- нет.
Я знаком с довольно большим разнообразием алгебр. Но имею совершенно иной взгляд на их полезность для физических приложений. Повторю основной принцип. "Важны не вещи, а принципы симметрий". То есть максимально богатые (и не тривиальные) множества преобразований, имеющих базовые метрические инварианты. По этой логике, кватернионы не очень интересны, что и подтвердили прошедшие с момента их изобретения 170 лет. А вот алгебра бикомплексных чисел, а тем более четырехкомплексных не имела такого же пристального внимания и только сейчас начинает свою постепенную реабилитацию. То, что с ней оказалось связанным финслерово пространство, "внутри которого" сидит пространство Минковского, серьезное косвенное подтверждение, что именно этим путем и следует двигаться дальнейшему развитию фундаментальной физики.
Цитата:
Кроме того, как я уже говорил, разложение алгебры в прямую сумму --- это в некотором смысле диагноз того, что компоненты не взаимодействуют между собой.
На мой взгляд, это "диагноз" не алгебрам, разложимым на прямые суммы действительных и комплексных чисел, а "врачам", делающим такие заключения, причем даже не попробовавших хоть немного повозиться с "мнимыми больными". Если б не этот поспешный и совершенно не обоснованный вывод, физика давно бы уже вовсю использовала не столько геометрию Минковского, сколько содержащую ту геометрию Бервальда-Моора. Если не над полем вещественных, то над полем комплексных чисел.
По поводу "невзаимодействия" компонент в алгебрах разложимых на прямые суммы..
Вспомните еще раз двойные числа и стоящие за ними двумерные псевдоримановы пространства с их бесконечной конформной группой. Именно эта группа вовсю используется в современной физике в считающейся одной из самых перспективных теорий - суперструнной. Что то "невзаимодействие двух компонент" алгебры двойных чисел теории суперструн совсем не мешает и даже помогает. А когда мы от двойных чисел переходим к четверным, получаемое пространство имеет уже не псевдоевклидову, а финслерову метрику Бервальда-Моора (с метрикой пространства Минковского внутри). Могу набраться наглости и a'приори заявить, что если б аналог теории суперструн строился не в псевдоримановых, а в "бервальд-мооровских" финслеровых пространствах, никаких "лишних" и никем физически не наблюдавшихся измерений в принципе не понадобилось бы. Хватило бы четырех. В крайнем случае, комплексных.. А сейчас предлагается поверить в мифическую компактификацию..
Если пользоваться Вашим термином "невзаимодействия компонент" таких алгебр, то это справедливо для одного единственного базиса, к которому нет непрерывного перехода, ни группой движений, ни коформными преобразованиями, ни поликонформными. То есть, на языке физики, этот изотропный базис совершенно "недостижимый". Он живет как бы сам по себе, не перемешиваясь с более физичными неизотропными базисами. Короче, попробуйте хотя бы на несколько дней допустить, что расщепление в изотропном базисе коммутативных алгебр на "кирпичики" не только не мешает физическим приложениям таких алгебр в физике, а наоборот, очень даже помогает. И познакомьтесь за эти дни с геометрией неизотропных объектов. Может это поможет избавиться от предубеждений.. Ведь изотропные вектора с точки зрения физики связаны не с чем ни будь абстрактным, а с предельными скоростями, которые как известно по одному из постулатов Эйнштейна недостижимы для частиц имеющих ненулевую массу покоя. То есть, изотропные базисы и неизотропные базисы, будучи равноправными с точки зрения абстрактной математики, совсем даже не равноправны при физических интерпретациях.
-- Чт май 03, 2012 00:00:12 --Геометрия Лобачевского не сразу получила признание не из-за какой-то "мотивированности", а по другим причинам. С мотивированностью все было ясно - проверка пятого постулата Евклида, выводим он из остальных постулатов или нет. А вот обоснования геометрии у Лобачевского не было. Точнее не было обоснования в плане существует ли такая геометрия вообще или нет. Вспомните, какую роль в математике играют всевозможные теоремы существования (это же не просто так!). А Бельтрами, предложив модель, как раз и показал, что геометрия Лобачевского реально существует.
Я против такой расшифровки не возражаю. Я возражал против заявлений моего оппонента о невозможности заниматься новыми алгебрами с геометриями, имея ввиду их последующую физическую интерпретацию, без математической или физической мотивации к этому. Да хоть с потолка пусть берутся идеи. Лишь бы они были и их можно было, в конце концов, проверить на состоятельность применительно к физике в реальных опытах.
К тому же этой самой мотивации у нас выше крыши, просто оппонент не считает ее для себя приемлимой.. Ну так мы его и не агитируем присоединяться. Пусть ждет появления "важных задач".