Перенос методов ТКП на двумерное пространство-время.

[Time]

g______d в сообщении #566554 писал(а):

Ну так приведите хоть одну.

Современная геометрия, как Вы знаете, базируется на аксиомах скалярного произведения. Таких аксиом обычно записывают четыре. Можно считать замену билинейной симметрической формы от двух векторов на полилинейную симметрическую форму, в частности, от трех векторов в каждом из четырех пунктов точно таким же изменением в системе постулатов, каким для геометрии Лобачевского явился постулат о параллельных. Разница только в способе аксиоматического описания геометрии. Поменяли аксиомы - поменялась и геометрия. Точь в точь как с геометрией Лобачевского было, ну, разве что, система аксиом более современная..

Цитата:

Вершины гор --- это геометрия на сфере. Чем не пример из физики? Правда, это не геометрия Лобачевского.

Гаусс не риманову геометрию двумерной поверхности Земли таким образом проверять собирался, а предположительную геометрию Лобачевского у трехмерного пространства. Свет он считал достаточно прямолинейно распространяющимся, во всяком случае, не с той же кривизной, что у поверхности Земли.

Цитата:

Геометрия Лобачевского естественным образом возникает в ТФКП при рассмотрении гиперболической метрики на верхней полуплоскости и при доказательстве теоремы Пикара.

То есть, Вы утверждаете, что именно на это с прикладной стороны Лобачевский и Больяи опирались при создании своей геометрии?.. Ссылки не приведете?

Цитата:

Нет, неевклидовых геометрий в классической физике до дури. Любая среда с переменными характеристиками задает неевклидову геометрию. С псевдоевклидовыми сложнее (надеюсь, Вы понимаете, что геометрия Лобачевского не псевдоевклидова). Но и тут приведите мне исследование по ней, и я скорее всего найду физическую задачу.

Не просто ПОТОМ возникшую физическую задачу, а ту, которая была мотивацией к соответствующим математическим исследованиям. А то выше Вы лихо приписали в качестве физической мотивации работ Лобачевского и Больяи "любую среду с переменными характеристиками".
Предлагаю Вам поломать голову, из каких таких физических мотиваций исходил Клиффорд, когда в своей работе 1872 года "Предварительный очерк бикватернионов" впервые ввел и рассмотрел основные свойства двойных чисел. Забавно, что опубликован этот очерк был в качестве приложения к книге "Здравый смысл точных наук". Что еще более забавно, геометрия пространства, стоящего за бикватернионами - самая что ни на есть финслерова (псевдофинслерова) и полиметрическая. Интервал соответствующего восьмимерного линейного пространства связан с формой от четвертых, а не от вторых степеней компонент.
Так что, очень внимательно слушаю Ваши объяснения, на каком основании Клиффорд за долго до СТО начал развивать теорию гиперкомплексных алгебр, геометрия первой из которых (двойных чисел) - псевдоевклидова, а второй (бикватернионов) - псевдофинслерова.

Time в сообщении #566470 писал(а):

Цитата:

Я конечно же имел ввиду разработки ДО появления специальной теории относительности.

Какие именно?

См. выше.

Цитата:

Лобачевский пытался доказать или опровергнуть абсолютно строго сформулированную математическую гипотезу, которая стояла уже давно. Эта задача удовлетворяет любым критериям мотивированности.

Это она СЕЙЧАС этим критериям стала удовлетворять. А тогда, вплоть до появления работы Бельтрами 1862 г., кроме Гаусса (и, отчасти, Больяи, который подозревал в авторстве под псевдонимом Лобачевский самого Гаусса), удовлетворительной по мотивированности она практически никем не считалась. Я привел Вам пример Остроградского. Если готовы обосновать свои слова, пожалуйста, приведите ссылку на работу хоть одного математика, кто признавал исследования Лобачевского, Больяи или Гаусса в отношении их геометрии до 1862 года объективно мотивированными.

Цитата:

Статью Римана я не читал, врать не буду. Если эти метрики действительно являются частными случаями финслеровых, а не псевдофинслеровых, то мой вопрос снимается, пока я с этим не ознакомлюсь.

Риман говорил о метрике связанной с суммой четвертых степеней компонент. Так что это именно финслерова, а не псевдофинслерова геометрия.
Кстати, термин "псевдофинслерова" совершенно неудовлетворительный, так как в неявном виде предполагает связь с классификацией квадратичных форм, которая даже для кубических форм уже недействительна и не может полноценно использоваться. Так что, можно все финслеровы и псевдофинслеровы пространства смело именовать просто финслеровыми. Или нужна специальная более тонкая их классификация, которой до сих пор нет даже для пространств с четвертыми степенями метрической формы.

Цитата:

Если метрика финслерова в обычном смысле (т. к. в касательном пространстве задана норма в традиционном определении), то углы там определены, так же, как и структура метрического пространства. За определением --- в любой учебник метрической геометрии (например, Бураго-Бураго-Иванов).

Вы кажется говорили, что смотрели книгу Рунда "Дифференциальная геометрия финслеровых пространств". Там хорошо показано, что формальное введение угла (а именно о таком Вы говорите) в финслеровых пространсвах практически всегда сопряжено с непреодолимыми противоречиями. Специалистам по финслеровым пространствам эта проблема хорошо известна и в тех редких случаях финслеровских метрик, когда удается ввести непротиворечивое понятие угла, авторы таких метрик особо ими гордятся. Частный пример, тот же Асанов с его финслероидной геометрией (он кстати, был переводчиком книги Рунда и написал к ней от своего имени два дополнения, в одном из которых рассматрел четырехмерное пространство с метрикой Бервальда-Моора именно в плане попытки обобщения СТО и ОТО, однако следуя Вашей логике, он не имел никакого права этим заниматься).

Цитата:

Если мы говорим о псевдофинслеровости, то я не понимаю смысла введения углов даже в простейшем псевдоевклидовом случае.

Что называется, приехали.. Вы что-то имеете против гиперболических углов? Но тогда Вы должны громко и официально заявить, что половина современной физики в лице СТО, ОТО и некоторых их обобщений, с Вашей точки зрения, должны быть признаны несостоятельными, так как углы в них определены математически неправильно. Или Вы что-то иное имели ввиду?

Цитата:

Мне кажется, у Вас мания величия. С Вашим отношением к математике и физике я бы вряд ли стал сравнивать себя с Гауссом.

А мне кажется, что у Вас что то невпорядке с логикой. С Гауссом я себя не сравнивал. Это Вам захотелось так все представить. Совпадение с намерением проверить в экспериментах отдельные теоретические выводы у него и у меня есть, но как из этого следует, что я себя ставлю с ним на одну ступень или хотя бы рядом? Нужно быть идиотом, что бы сравнивать...

Цитата:

Вообще, лично мне (не знаю, как с другими участниками форума) трудно относиться серьезно к исследованиям, которые в мотивировочной части жонглируют избранными моментами из истории математики, цитатами из классиков и высказываниями авторитетов (часто выдернутыми из контекста).

А мне странно совсем иное. Как человек, по косвенным признакам причисляющий себя к математикам, может не знать наиболее фундаментальных работ по основаниям геометрии и перепетий ее истории?

Цитата:

Мне кажется, мы должны обсуждать математику, а не историю математики, не "кто есть кто в математике" и не высказывания авторитетов.

Теперь совершенно ясно, что мы с Вами никогда не найдем общего языка. Возможно, Вы даже очень хорошо знаете современную математику и ее методы, но те вопросы, которые волнуют меня - имели свой водораздел как раз в позапрошлом веке. Именно поэтому меня в первую очередь интересует история и причины, почему так случилось, что мейнстрим в алгебре, в геометрии и в физике пошел именно тем путем, которым пошел. Мне интересно, была ли возможность у этого потока выбрать совсем иное русло? Вы же а'приори уверены, что альтернативы ни тогда, ни тем более сейчас - не было и нет. Поэтому Вам хочется обсуждать современный вариант математики, а мне конкретный этап в ее истории. Вам ближе та математика, геометрия и физика какими они стали, а мне - какими они могли бы оказаться, если б, в частности, Гамильтон в 1843 году сделал ставку не на кватернионы, а на бикомплексные коммутативные числа..

[Oleg Zubelevich]

Time в сообщении #566620 писал(а):

а мне - какими они могли бы оказаться, если б, в частности, Гамильтон в 1843 году сделал ставку не на кватернионы, а на бикомплексные коммутативные числа..

Вы , очевидно, думаете, что развитие математики определяется ставками и пристрастиями отдельных личностей. Это не так.

Time в сообщении #566620 писал(а):

А мне странно совсем иное. Как человек, по косвенным признакам причисляющий себя к математикам, может не знать наиболее фундаментальных работ по основаниям геометрии и перепетий ее истории?

очень просто, работы Гаусса, Римана, Лобачевского уже давно потеряли актуальность для исследовательской деятельности и интересны только с исторической точки зрения , да и представления об актуальности уже раз сто сменились с тех пор. Вы еще предложите дифференциальное счисление изучать по трудам Ньютона.

[g______d]

Time в сообщении #566620 писал(а):

Современная геометрия, как Вы знаете, базируется на аксиомах скалярного произведения.

Не могу согласиться. Современная геометрия базируется на понятии многообразия.

Time в сообщении #566620 писал(а):

Таких аксиом обычно записывают четыре. Можно считать замену билинейной симметрической формы от двух векторов на полилинейную симметрическую форму, в частности, от трех векторов в каждом из четырех пунктов точно таким же изменением в системе постулатов, каким для геометрии Лобачевского явился постулат о параллельных. Разница только в способе аксиоматического описания геометрии. Поменяли аксиомы - поменялась и геометрия. Точь в точь как с геометрией Лобачевского было, ну, разве что, система аксиом более современная..

Это не совсем то. Изначальный вопрос был не в том, что будет, если изменить какие-то аксиомы, а то, приведет ли это к неминуемому противоречию.

Time в сообщении #566620 писал(а):

Я так понял, что именно на это с прикладной стороны Лобачевский с Больяи и опирались помимо пятого постулата.. Ссылки не приведете?

Я не знаю, были ли в их работах рассмотрены еще какие-то приложения. Несмотря на это, они нашлись очень быстро.

Time в сообщении #566620 писал(а):

Не просто ПОТОМ возникшую физическую задачу, а ту, которая была мотивацией к соответствующим математическим исследованиям. А то выше Вы лихо приписали в качестве физической мотивации работ Лобачевского "любую среду с переменными характеристиками".

Не работ Лобачевского, а неевклидовы геометрии.

Time в сообщении #566620 писал(а):

Предлагаю Вам поломать голову, из каких таких физических мотиваций исходил Клиффорд, когда в своей работе 1872 года "Предварительный очерк бикватернионов" впервые ввел и рассмотрел основные свойства двойных чисел. Забавно, что опубликован этот очерк был в качестве приложения к книге "Здравый смысл точных наук". Что еще более забавно, геометрия пространства, стоящего за бикватернионами - самая что ни на есть финслерова (псевдофинслерова) и полиметрическая. Интервал соответствующего восьмимерного линейного пространства связан с формой от четвертых, а не от вторых степеней компонент.
Так что, очень внимательно слушаю Ваши объяснения, на каком основании Клиффорд за долго до СТО начал развивать теорию гиперкомплексных алгебр, геометрия первой из которых - псевдоевклидова, а второй - финслерова (псевдофинслерова).

Думаю, что его целью было классифицировать алгебры. Вы, кстати, так и не объяснили, как геометрия возникает из структуры алгебры. Если не хотите здесь писать, дайте, пожалуйста, ссылку на внятный текст. Мне интересно, какое отношение конформные преобразования могут иметь к умножению в алгебре.

Time в сообщении #566470 писал(а):

Это она СЕЙЧАС этим критериям стала удовлетворять. А тогда, вплоть до появления работы Бельтрами 1862 г., кроме Гаусса (и, отчасти, Больяи, который подозревал в авторстве под псевдонимом Лобачевский самого Гаусса), удовлетворительной по мотивированности она практически никем не считалась. Я привел Вам пример Остроградского. Если готовы обосновать свои слова, пожалуйста, приведите ссылку на работу хоть одного математика, кто признавал исследования Лобачевского, Больяи или Гаусса в отношении их геометрии до 1862 года объективно мотивированными.

По современным стандартам это абсолютно мотивированно. Лобачевский опередил свое время.

Time в сообщении #566620 писал(а):

Риман говорил о метрике связанной с суммой четвертых степеней компонент. Так что это именно финслерова, а не псевдофинслерова геометрия.

Ну против этой метрики я абсолютно ничего не имею. Почему она является мотивацией, например, к переходу к пространству Бервальда-Моора?

Time в сообщении #566620 писал(а):

Кстати, термин "псевдофинслерова" совершенно неудовлетворительный, так как в неявном виде предполагает связь с классификацией квадратичных форм, которая даже для кубических форм уже недействительна и не может полноценно использоваться.

Я не знаю точной терминологии. Под финслеровостью я имел в виду сводящиеся к классическому определению финслерова пространства, т. е. обладающие положительностью и однородностью. Например, сумма четвертых степеней. Или, что то же самое, задана структура нормированного пространства в каждом касательном пространстве. Классификация полилинейных форм сложнее, но что такое положительность --- понятно.

Time в сообщении #566620 писал(а):

Так что, можно все финслеровы и псевдофинслеровы пространства смело именовать просто финслеровыми. Или нужна специальная более тонкая их классификация, которой до сих пор нет даже для пространств с четвертыми степенями метрической формы.

См. выше про положительность.

Time в сообщении #566620 писал(а):

Частный пример, тот же Асанов с его финслероидной геометрией (он кстати, был переводчиком книги Рунда и написал к ней от своего имени два дополнения, в одном из которых рассматрел четырехмерное пространство с метрикой Бервальда-Моора именно в плане попытки обобщения СТО и ОТО, однако следуя Вашей логике, он не имел никакого права этим заниматься).

Имел, конечно. Никто запретить не может. В принципе, попытка рассмотреть СТО и ОТО в пространстве другого типа --- почему бы и нет? Но надо честно писать новый лагранжиан, уравнения движения, обосновывать предельный переход к Минковскому. Этим занимаются в том числе и Ваши коллеги, и против этого я ничего не имею. Но они по крайней мере стараются работать в рамках современной физики и принципов построения физических теорий.

Time в сообщении #566620 писал(а):

Что называется, приехали.. Вы что-то имеете против гиперболических углов?

Возможно, здесь я перегнул палку.

Time в сообщении #566620 писал(а):

Теперь совершенно ясно, что мы с Вами никогда не найдем общего языка. Возможно, Вы даже очень хорошо знаете современную математику и ее методы, но те вопросы, которые волнуют меня - имели свой водораздел как раз в позапрошлом веке. Именно поэтому меня в первую очередь интересует история и причины, почему так случилось, что мейнстрим в алгебре, в геометрии и в физике пошел именно тем путем, которым пошел. Мне интересно, была ли возможность у этого потока выбрать совсем иное русло? Вы же а'приори уверены, что альтернативы ни тогда, ни тем более сейчас - не было и нет. Поэтому Вам хочется обсуждать современный вариант математики, а мне конкретный этап в ее истории.

И против этого я ничего не имею. Любой человек имеет право заниматься любым разделом математики. Но если тенденции и мейнстрим меняются (даже сейчас), то стандарты строгости не могли эволюционировать по-другому. То же самое с физикой. Если Вы не соответствуете ни стандартам математической строгости, ни принципам построения физических теорий, то изолируете себя от научного мира. Если хотите, чтобы Вас признавали математики, формулируйте и доказывайте теоремы. Если физики, то пишите лагранжианы (условно говоря).

Time в сообщении #566620 писал(а):

если б, в частности, Гамильтон в 1843 году сделал ставку не на кватернионы, а на бикомплексные коммутативные числа..

Я слышал это от Вас и раньше, но не прокомментировал. Я не понимаю, как можно считать кватернионы менее естественным объектом, чем бикомплексные числа. Вы согласны, я думаю, с задачей описать все возможные алгебры. Ну так и комплексные числа, и кватернионы возникают как простые алгебры, "кирпичики", из которых состоят все остальные алгебры. Они в некотором смысле неделимы и не являются прямой суммой более простых. В отличие от бикомплексных чисел, двойных чисел и т. д. Кватернионы возникают как важная часть ответа на вопрос "какие вообще бывают на свете алгебры", а бикомплексные числа --- нет. Кроме того, как я уже говорил, разложение алгебры в прямую сумму --- это в некотором смысле диагноз того, что компоненты не взаимодействуют между собой.

[AV_77]

Time в сообщении #566620 писал(а):

Это она СЕЙЧАС этим критериям стала удовлетворять. А тогда, вплоть до появления работы Бельтрами 1862 г., кроме Гаусса (и, отчасти, Больяи, который подозревал в авторстве под псевдонимом Лобачевский самого Гаусса), удовлетворительной по мотивированности она практически никем не считалась.

Геометрия Лобачевского не сразу получила признание не из-за какой-то "мотивированности", а по другим причинам. С мотивированностью все было ясно - проверка пятого постулата Евклида, выводим он из остальных постулатов или нет. А вот обоснования геометрии у Лобачевского не было. Точнее не было обоснования в плане существует ли такая геометрия вообще или нет. Вспомните, какую роль в математике играют всевозможные теоремы существования (это же не просто так!). А Бельтрами, предложив модель, как раз и показал, что геометрия Лобачевского реально существует.

[Time]

Цитата:

Не могу согласиться. Современная геометрия базируется на понятии многообразия.

Тогда претензии не ко мне, а к авторам "Современной геометрии" - Дубровину, Новикову и Фоменко. Том 1, стр. 17:
"...длины и углы тесно связаны с понятием скалярного произведения между векторами. В дальнейшем именно скалярное произведение будет взято за основное, первичное понятие, на котором строится геометрия."
Понятие многообразия они так же вводят как фундаментальное, но в начале второго тома. К тому же тут же признают, что оно получилось излишне широким и его не мешает немного сузить, к чему и приступают в дальнейшем методами общей топологии.
Мне позиция этих авторов ближе, тем более, что с одним из них удалось поговорить лично и на меня он произвел благоприятное впечатление. Этот автор, кстати, так же не имел ничего против коротко описанной ему программы на ближайшее будущее по классификации всех непрерывных симметрий четырехмерного пространства с метрикой Бервальда-Моора. Чем еще больше понравился.:)
Скажите, а Ваше убеждение в первичности понятия многообразия для геометрии, а не скалярного произведения, хоть раз принесло Вам что ни будь похожее на новую геометрию, или хотя бы новую методологию в известной геометрии?

Цитата:

Это не совсем то. Изначальный вопрос был не в том, что будет, если изменить какие-то аксиомы, а то, приведет ли это к неминуемому противоречию.

На Вас не угодишь. Вы, кстати, так и не ответили на мой вопрос касательно конкретных математиков, кто мотивацию исследований Лобачевского по новой геометрии до 1862 года признавал за "полностью мотивированную".

Цитата:

Я не знаю, были ли в их работах рассмотрены еще какие-то приложения. Несмотря на это, они нашлись очень быстро.

Ну да, спустя более тридцати лет. Никто из "виновников" не дожил до этих самых "быстрых" приложений..

Цитата:

Думаю, что его целью было классифицировать алгебры.

Вы обещали привести пример мотивированности исследований, исходя из потребностей физических задач. Тем более, что плоскость двойной переменной так же "быстро" как и геометрия Лобачевского оказалась таки востребованной.

Цитата:

Вы, кстати, так и не объяснили, как геометрия возникает из структуры алгебры. Если не хотите здесь писать, дайте, пожалуйста, ссылку на внятный текст. Мне интересно, какое отношение конформные преобразования могут иметь к умножению в алгебре.

Судя по придиркам, внятными Вы считаете тексты, написанные исключительно на родном для Вас языке. Можете поискать их в интернете сами. Я же могу дать лишь ссылки на тексты написанные физиками-теоретиками. В частности, посмотрите еще раз книгу Гарасько:
http://hypercomplex.xpsweb.com/page.php?lang=ru&id=487
(иконка справа внизу под аннотацией)
Начиная со страницы 127 и далее, пока не надоест. Скоро выйдет 16 номер нашего журнала. Там будет большая статья Кокарева. Думаю, ее так же стОит почитать. В ней много, полагаю, будет для Вас интересно, в том числе, и в отношении обсуждавшегося тут вопроса "нестандартной" топологии, стоящей за псевдоевклидовой плоскостью и другими пространствами Бервальда-Моора.
Конформные же преобразования имеют отношение не столько к умножению, сколько к аналитическим функциям. На кватернионах умножение так же есть, а вот с конформными преобразованиями в соответствующем пространстве совсем плохо. Всего 15-параметрическая группа. Кстати, в точности равная группе аналитических функций кватернионной переменной.

Цитата:

По современным стандартам это абсолютно мотивированно. Лобачевский опередил свое время.

То есть, Лобачевскому можно было заниматься задачами, мотивацию которых (как математическую, так и физическую) современники не особенно замечали? А нам нельзя даже пытаться.. Понятно..

Цитата:

Ну против этой метрики я абсолютно ничего не имею. Почему она является мотивацией, например, к переходу к пространству Бервальда-Моора?

В такой геометрии с положительной определенностью с точки зрения возможных физических интерпретаций нет временнОго измерения. Ровно по той же причине, вместо кватернионов Гамильтона с их четырехмерным евклидовым пространством физики предпочли пространство Минковского. Между геометрией с четвертыми степенями, о которой говорил Риман, и Бервальдом-Моором - примерно такая же связь, как между четырехмерным Евклидом и Минковским. В Бервальде-Мооре с его знаконеопределенной метрической функцией есть место для временнОй координаты и трех пространственных, вернее, очень похожих на них..

Цитата:

Я не знаю точной терминологии. Под финслеровостью я имел в виду сводящиеся к классическому определению финслерова пространства, т. е. обладающие положительностью и однородностью. Например, сумма четвертых степеней. Или, что то же самое, задана структура нормированного пространства в каждом касательном пространстве. Классификация полилинейных форм сложнее, но что такое положительность --- понятно.

Все правильно. Если выражаться строго, то финслеровыми можно называть только первые пространства. Но часто физики используют этот термин и для псевдофинслеровых пространств. Обычно все и так становится ясно из контекста. И путаницы не происходит.

Цитата:

Имел, конечно. Никто запретить не может. В принципе, попытка рассмотреть СТО и ОТО в пространстве другого типа --- почему бы и нет? Но надо честно писать новый лагранжиан, уравнения движения, обосновывать предельный переход к Минковскому. Этим занимаются в том числе и Ваши коллеги, и против этого я ничего не имею. Но они по крайней мере стараются работать в рамках современной физики и принципов построения физических теорий.

Под коллегами Вы сейчас кого понимали? Специалистов по классической финслеровой геометрии, то есть, работающих с двухиндексным метрическим тензором, зависящим от направления в касательном пространстве? Или тех, кто согласился с лучшими перспективами для физики аксиом полилинейной симметрической формы от $n$ векторов?
Если первых, то наиболее авторитетные из них (в частности Шен, Бао, Балан) сами признают что подход нашей маленькой группы ближе к реальной физике. Если вторых, то они как раз совершенно честно выписывают Лагранжианы, полевые уравнения, начальные и граничные условия. Но это совсем не означает, что не имеет права на жизнь и совсем иная методология, о которой пытаюсь иногда говорить я, в частности, связанная с построением алгебраических предфракталов в пространстве четверных чисел.

Цитата:

Возможно, здесь я перегнул палку.

И то хлеб. А то я было решил, что мне не только за физические построения моих соавторов отдуваться перед Вами придется, но и еще за добрую половину современных физиков..

Цитата:

И против этого я ничего не имею. Любой человек имеет право заниматься любым разделом математики. Но если тенденции и мейнстрим меняются (даже сейчас), то стандарты строгости не могли эволюционировать по-другому. То же самое с физикой. Если Вы не соответствуете ни стандартам математической строгости, ни принципам построения физических теорий, то изолируете себя от научного мира. Если хотите, чтобы Вас признавали математики, формулируйте и доказывайте теоремы. Если физики, то пишите лагранжианы (условно говоря).

С чего вы решили, что мы от кого-то себя изолируем? На наших конференциях за восемь лет их проведения побывали математики и физики из сорока стран. Просто то, чем и как занимается наша группа, находится довольно далеко даже от принятых канонов современной финслеровой геометрии. Но у них, в отличие от неспециалистов, хватает понимания, что наш путь не менее и даже более обоснован, чем их классический, а так же имеется определенное снисхождение к тому, что идущие первыми имеют право как на ошибки, так и на различного рода нестандартные приемы. Лишь бы толк в конце концов получился. Навести потом математический и физический глянец - не так уж и сложно. В случае, конечно, если в этом будет смысл и потребность.

Цитата:

Я слышал это от Вас и раньше, но не прокомментировал. Я не понимаю, как можно считать кватернионы менее естественным объектом, чем бикомплексные числа.

В отличие от Вас, я уважительно отношусь к седой истории математики. В частности, к истории появления в алгебре, геометрии и физике кватернионов Гамильтона. Много лет назад мне попался на глаза отрывок, в котором Гамильтон описывал один из своих математических опытов с четырехкомпонентными числами, отличными от кватернионов. Это была алгебра бикомплексных чисел, приводившая к геометрии четырехмерного пространства с формой четвертого порядка. Поскольку Гамильтон заранее был настроен на поиск такой конструкции, в которой должны были фигурировать только суммы квадратов, он отбросил этот вариант. Однако, если б он заранее знал, что ни ему, ни кому другому не удастся на кватернионах получить естественное и бесконечнопараметрическое множество аналитических функций, думаю, он бы мог сделать и другой выбор, не смотря на его кажущуюся бессмысленность. В этом случае, учитывая математический уровень автора, и его нацеленность на наличие в геометрии, кроме пространственных координат хотя бы одной временнОй, он неминуемо вышел бы, и на четверные числа, и на четырехкомплексные. А от последних до пространства Минковского рукой подать. Но только не тем путем, каким к нему пришли в реализовавшемся в истории прошлого века варианте, а прямо противоположным, причем через алгебры с богатейшими множествами не только конформных преобразований, но и поликонформных. Такая логика более понятна?

Цитата:

Вы согласны, я думаю, с задачей описать все возможные алгебры. Ну так и комплексные числа, и кватернионы возникают как простые алгебры, "кирпичики", из которых состоят все остальные алгебры. Они в некотором смысле неделимы и не являются прямой суммой более простых. В отличие от бикомплексных чисел, двойных чисел и т. д. Кватернионы возникают как важная часть ответа на вопрос "какие вообще бывают на свете алгебры", а бикомплексные числа --- нет.

Я знаком с довольно большим разнообразием алгебр. Но имею совершенно иной взгляд на их полезность для физических приложений. Повторю основной принцип. "Важны не вещи, а принципы симметрий". То есть максимально богатые (и не тривиальные) множества преобразований, имеющих базовые метрические инварианты. По этой логике, кватернионы не очень интересны, что и подтвердили прошедшие с момента их изобретения 170 лет. А вот алгебра бикомплексных чисел, а тем более четырехкомплексных не имела такого же пристального внимания и только сейчас начинает свою постепенную реабилитацию. То, что с ней оказалось связанным финслерово пространство, "внутри которого" сидит пространство Минковского, серьезное косвенное подтверждение, что именно этим путем и следует двигаться дальнейшему развитию фундаментальной физики.

Цитата:

Кроме того, как я уже говорил, разложение алгебры в прямую сумму --- это в некотором смысле диагноз того, что компоненты не взаимодействуют между собой.

На мой взгляд, это "диагноз" не алгебрам, разложимым на прямые суммы действительных и комплексных чисел, а "врачам", делающим такие заключения, причем даже не попробовавших хоть немного повозиться с "мнимыми больными". Если б не этот поспешный и совершенно не обоснованный вывод, физика давно бы уже вовсю использовала не столько геометрию Минковского, сколько содержащую ту геометрию Бервальда-Моора. Если не над полем вещественных, то над полем комплексных чисел.
По поводу "невзаимодействия" компонент в алгебрах разложимых на прямые суммы..
Вспомните еще раз двойные числа и стоящие за ними двумерные псевдоримановы пространства с их бесконечной конформной группой. Именно эта группа вовсю используется в современной физике в считающейся одной из самых перспективных теорий - суперструнной. Что то "невзаимодействие двух компонент" алгебры двойных чисел теории суперструн совсем не мешает и даже помогает. А когда мы от двойных чисел переходим к четверным, получаемое пространство имеет уже не псевдоевклидову, а финслерову метрику Бервальда-Моора (с метрикой пространства Минковского внутри). Могу набраться наглости и a'приори заявить, что если б аналог теории суперструн строился не в псевдоримановых, а в "бервальд-мооровских" финслеровых пространствах, никаких "лишних" и никем физически не наблюдавшихся измерений в принципе не понадобилось бы. Хватило бы четырех. В крайнем случае, комплексных.. А сейчас предлагается поверить в мифическую компактификацию..
Если пользоваться Вашим термином "невзаимодействия компонент" таких алгебр, то это справедливо для одного единственного базиса, к которому нет непрерывного перехода, ни группой движений, ни коформными преобразованиями, ни поликонформными. То есть, на языке физики, этот изотропный базис совершенно "недостижимый". Он живет как бы сам по себе, не перемешиваясь с более физичными неизотропными базисами. Короче, попробуйте хотя бы на несколько дней допустить, что расщепление в изотропном базисе коммутативных алгебр на "кирпичики" не только не мешает физическим приложениям таких алгебр в физике, а наоборот, очень даже помогает. И познакомьтесь за эти дни с геометрией неизотропных объектов. Может это поможет избавиться от предубеждений.. Ведь изотропные вектора с точки зрения физики связаны не с чем ни будь абстрактным, а с предельными скоростями, которые как известно по одному из постулатов Эйнштейна недостижимы для частиц имеющих ненулевую массу покоя. То есть, изотропные базисы и неизотропные базисы, будучи равноправными с точки зрения абстрактной математики, совсем даже не равноправны при физических интерпретациях.

-- Чт май 03, 2012 00:00:12 --

AV_77 в сообщении #566677 писал(а):

Геометрия Лобачевского не сразу получила признание не из-за какой-то "мотивированности", а по другим причинам. С мотивированностью все было ясно - проверка пятого постулата Евклида, выводим он из остальных постулатов или нет. А вот обоснования геометрии у Лобачевского не было. Точнее не было обоснования в плане существует ли такая геометрия вообще или нет. Вспомните, какую роль в математике играют всевозможные теоремы существования (это же не просто так!). А Бельтрами, предложив модель, как раз и показал, что геометрия Лобачевского реально существует.

Я против такой расшифровки не возражаю. Я возражал против заявлений моего оппонента о невозможности заниматься новыми алгебрами с геометриями, имея ввиду их последующую физическую интерпретацию, без математической или физической мотивации к этому. Да хоть с потолка пусть берутся идеи. Лишь бы они были и их можно было, в конце концов, проверить на состоятельность применительно к физике в реальных опытах.
К тому же этой самой мотивации у нас выше крыши, просто оппонент не считает ее для себя приемлимой.. Ну так мы его и не агитируем присоединяться. Пусть ждет появления "важных задач".

[g______d]

Time в сообщении #566715 писал(а):

Тогда претензии не ко мне, а к авторам "Современной геометрии" - Дубровину, Новикову и Фоменко. Том 1, стр. 17:
"...длины и углы тесно связаны с понятием скалярного произведения между векторами. В дальнейшем именно скалярное произведение будет взято за основное, первичное понятие, на котором строится геометрия."

Опять Вы за свое. Фраза выдернута из контекста. Более того, многие профессиональные геометры соглашаются, что, несмотря на название, эта книжка устарела еще когда была первый раз издана.

Тем не менее, даже в духе этой книжки, современная геометрия изучает структуры на многообразиях. Впрочем, Ваши полилинейные формы тоже к ним относятся.

Time в сообщении #566715 писал(а):

Понятие многообразия они так же вводят как фундаментальное, но в начале второго тома. К тому же тут же признают, что оно получилось излишне широким и его не мешает немного сузить, к чему и приступают в дальнейшем методами общей топологии.

Сузить? Методами общей топологии? :)

Time в сообщении #566715 писал(а):

Скажите, а Ваше убеждение в первичности понятия многообразия для геометрии, а не скалярного произведения, хоть раз принесло Вам что ни будь похожее на новую геометрию, или хотя бы новую методологию в известной геометрии?

Да. Все существующие геометрии :)

Time в сообщении #566715 писал(а):

Вы обещали привести пример мотивированности исследований, исходя из потребностей физических задач. Тем более, что плоскость двойной переменной так же "быстро" как и геометрия Лобачевского оказалась таки востребованной.

Я так написал, да? Математические задачи я еще больше признаю, чем физические :)

Time в сообщении #566715 писал(а):

Судя по придиркам, внятными Вы считаете тексты, написанные исключительно на родном для Вас языке. Можете поискать их в интернете сами. Я же могу дать лишь ссылки на тексты написанные физиками-теоретиками. В частности, посмотрите еще раз книгу Гарасько:
http://hypercomplex.xpsweb.com/page.php?lang=ru&id=487
(иконка справа внизу под аннотацией)
Начиная со страницы 127 и далее, пока не надоест. Скоро выйдет 16 номер нашего журнала.

Посмотрю.

Time в сообщении #566715 писал(а):

То есть, Лобачевскому можно было заниматься задачами, мотивацию которых (как математическую, так и физическую) современники не особенно замечали? А нам нельзя даже пытаться.. Понятно..

Вам выше ответили, а я был не точен. Мотивацию как раз замечали, метод не вполне признавали.

Time в сообщении #566715 писал(а):

Под коллегами Вы сейчас кого понимали? Специалистов по классической финслеровой геометрии, то есть, работающих с двухиндексным метрическим тензором, зависящим от направления в касательном пространстве? Или тех, кто согласился с лучшими перспективами для физики аксиом полилинейной симметрической формы от $n$ векторов?
Если первых, то наиболее авторитетные из них (в частности Шен, Бао, Балан) сами признают что подход нашей маленькой группы ближе к реальной физике.

Просто речь о разной физике. Я думаю, что первая геометрия встречается в физике сплошных сред. Вторая пока ничем себя не проявила --- да, строятся какие-то физические теории, и толку? Неужели кто-то серьезно что-то ищет в классической физике?

Time в сообщении #566715 писал(а):

С чего вы решили, что мы от кого-то себя изолируем? На наших конференциях за восемь лет их проведения побывали математики и физики из сорока стран. Просто то, чем и как занимается наша группа, находится довольно далеко даже от принятых канонов современной финслеровой геометрии. Но у них, в отличие от неспециалистов, хватает понимания, что наш путь не менее и даже более обоснован, чем их классический, а так же имеется определенное снисхождение к тому, что идущие первыми имеют право как на ошибки, так и на различного рода нестандартные приемы. Лишь бы толк в конце концов получился.

Оно далеко от "принятых канонов" математики и физики. По крайней мере, лично Ваши статьи, обсужденные выше.

Time в сообщении #566715 писал(а):

Навести потом математический и физический глянец - не так уж и сложно. В случае, конечно, если в этом будет смысл и потребность.

А вот и нет. От формулы Коши много осталось?

Time в сообщении #566715 писал(а):

Я знаком с довольно большим разнообразием алгебр. Но имею совершенно иной взгляд на их полезность для физических приложений. Повторю основной принцип. "Важны не вещи, а принципы симметрий".

А я повторю, что эта фраза тоже вырвана из контекста. Очень большая часть математики представляет собой классификацию объектов определенного рода. И к физике тоже практически всегда особое отношение имеют выделенные объекты этой классификации.

Time в сообщении #566715 писал(а):

То, что с ней оказалось связанным финслерово пространство, "внутри которого" сидит пространство Минковского, серьезное косвенное подтверждение, что именно этим путем и следует двигаться дальнейшему развитию фундаментальной физики.

И как же оно там сидит?

Time в сообщении #566715 писал(а):

На мой взгляд, это "диагноз" не алгебрам, разложимым на прямые суммы действительных и комплексных чисел, а "врачам", делающим такие заключения, причем даже не попробовавших хоть немного повозиться с "мнимыми больными". Если б не этот поспешный и совершенно не обоснованный вывод, физика давно бы уже вовсю использовала не столько геометрию Минковского, сколько содержащую ту геометрию Бервальда-Моора. Если не над полем вещественных, то над полем комплексных чисел.

Time в сообщении #566715 писал(а):

По поводу "невзаимодействия" компонент в алгебрах разложимых на прямые суммы..
Вспомните еще раз двойные числа и стоящие за ними двумерные псевдоримановы пространства с их бесконечной конформной группой. Именно эта группа вовсю используется в современной физике в считающейся одной из самых перспективных теорий - суперструнной. Что то "невзаимодействие двух компонент" алгебры двойных чисел теории суперструн совсем не мешает и даже помогает.
А когда мы от двойных чисел переходим к четверным, получаемое пространство имеет уже не псевдоевклидову, а финслерову метрику Бервальда-Моора (с метрикой пространства Минковского внутри). Могу набраться наглости и a'приори заявить, что если б аналог теории суперструн строился не в псевдоримановых, а в "бервальд-мооровских" финслеровых пространствах, никаких "лишних" и никем физически не наблюдавшихся измерений в принципе не понадобилось бы. Хватило бы четырех. В крайнем случае, комплексных.. А сейчас предлагается поверить в мифическую компактификацию..

(Оффтоп)

И тут Остапа понесло... :)

Time в сообщении #566715 писал(а):

Если пользоваться Вашим термином "невзаимодействия компонент" таких алгебр, то это справедливо для одного единственного базиса, к которому нет непрерывного перехода, ни группой движений, ни коформными преобразованиями, ни поликонформными. То есть, на языке физики, этот изотропный базис совершенно "недостижимый". Он живет как бы сам по себе, не перемешиваясь с более физичными неизотропными базисами. Короче, попробуйте хотя бы на несколько дней допустить, что расщепление в изотропном базисе коммутативных алгебр на "кирпичики" не только не мешает физическим приложениям таких алгебр в физике, а наоборот, очень даже помогает. И познакомьтесь за эти дни с геометрией неизотропных объектов. Может это поможет избавиться от предубеждений.. Ведь изотропные вектора с точки зрения физики связаны не с чем ни будь абстрактным, а с предельными скоростями, которые как известно по одному из постулатов Эйнштейна недостижимы для частиц имеющих ненулевую массу покоя. То есть, изотропные базисы и неизотропные базисы, будучи равноправными с точки зрения абстрактной математики, совсем даже не равноправны при физических интерпретациях.

Пожалуй, последние 2 абзаца пока пропущу.

[Time]

g______d в сообщении #566733 писал(а):

Опять Вы за свое. Фраза выдернута из контекста. Более того, многие профессиональные геометры соглашаются, что, несмотря на название, эта книжка устарела еще когда была первый раз издана.

Лично мне нравятся еще более древние. Эту я использовал в надежде, что написана Вашим языком.

Цитата:

Тем не менее, даже в духе этой книжки, современная геометрия изучает структуры на многообразиях. Впрочем, Ваши полилинейные формы тоже к ним относятся.

Много выше я просил Вас дать ссылки на применение "моих" аксиом скалярных полипроизведений и связанных с ними полилинейных симметрических форм к исследованиям линейных финслеровых пространств. Не самих тензоров как вполне конкретных геометрических объектов (эти, естественно, давно известны), а именно подхода к "препарированию" соответствующих финслеровых геометрий. Пока никаких внятных ссылок я не увидел. Свои заявления я по крайней мере стараюсь подкреплять первоисточниками. С Вашей стороны не вежливо пропускать аналогичные проcьбы мимо ушей. Вот сейчас Вы заявили, что "мои" полилинейные формы (надо так полагать, именно в контексте обобщения скалярного произведения) уже изучаются структурами на многообразиях. Осталось подкрепить эти слова ссылкой и вопрос будет закрыт.

Цитата:

Сузить? Методами общей топологии? :)

Претензии предъявляйте авторам. См. начало второго тома.

Цитата:

Да. Все существующие геометрии :)

Я говорил лично о Вашем вкладе. Не знал, что Вы за всех все сделали.

Цитата:

Я так написал, да? Математические задачи я еще больше признаю, чем физические :)

Это начинает надоедать. Вы перестаете выполнять обещания.

Цитата:

Просто речь о разной физике. Я думаю, что первая геометрия встречается в физике сплошных сред. Вторая пока ничем себя не проявила --- да, строятся какие-то физические теории, и толку? Неужели кто-то серьезно что-то ищет в классической физике?

Мне известны взгляды в пользу такой концепции Пенроуза, Глэшоу и Гиббонса. Двое последних, позитивно расценивают перспективы именно финслеровых геометрий, и именно в классических направлениях их приложений. У Пенроуза существенно иная позиция в отношении финслеровых геометрий (в отличие от Гиббонса, он пока так и не познакомился с "моими" скалярными полипроизведениями), но он так же считает далеко не исчерпанной концепцию классических методов в физике.

Цитата:

Оно далеко от "принятых канонов" математики и физики. По крайней мере, лично Ваши статьи, обсужденные выше.

Лично мои статьи, насколько я помню, мы вообще с Вами ни разу не обсуждали. Вероятно из-за их еще большего удаления от "принятых канонов" математики и физики. Впрочем, из-за этого их действительно не имеет смысла даже начинать обсуждать.

Цитата:

А вот и нет. От формулы Коши много осталось?

Не торопитесь с "диагнозами". Коммутативным алгебрам, причем всем чохом Вы уже поспешили поставить. Равно как и связанным с ними финслеровым пространствам, и маячащим за ними алгебраическим фракталам.
Вернемся к формуле Коши лет через несколько..

Цитата:

А я повторю, что эта фраза тоже вырвана из контекста. Очень большая часть математики представляет собой классификацию объектов определенного рода. И к физике тоже практически всегда особое отношение имеют выделенные объекты этой классификации.

Считайте как угодно. На мой взгляд, Вы просто не видите вкладываемого в эту фразу моего контекста..

Цитата:

И как же оно там сидит?

Вопрос уже обсуждался в одной из двух последних тем. Если интересно, поднимите старые страницы. Там давались ссылки, аж, на четыре варианта выявления такого сидения. В том числе и на Асановский "а ля Рунд".

(Оффтоп)

Цитата:

И тут Остапа понесло... :)

Могу вообще специально для Вас помолчать.

Цитата:

Пожалуй, последние 2 абзаца пока пропущу.

Чо так? Зря старался, выходит. :)

[g______d]

Time в сообщении #566753 писал(а):

Вот сейчас Вы заявили, что "мои" полилинейные формы (надо так полагать, именно в контексте обобщения скалярного произведения) уже изучаются структурами на многообразиях. Осталось подкрепить эти слова ссылкой и вопрос будет закрыт.

Любая полилинейная форма является структурой на многообразии. А именно, тензором соответствующего ранга.

Time в сообщении #566753 писал(а):

Претензии предъявляйте авторам. См. начало второго тома.

Вы дальше начала не прочитали? Да, там есть ограничения по сравнению с самым общим определением, но они чисто технические. Вы вряд ли придумаете многообразие, подходящее под первое определение и не удовлетворяющее этим ограничениям. Примеры есть, но они довольно экзотические.

Time в сообщении #566753 писал(а):

Я говорил лично о Вашем вкладе. Не знал, что Вы за всех все сделали.

Я говорил лишь то, что все существующие геометрии являются структурами на многообразиях. И Ваша тоже.

Time в сообщении #566753 писал(а):

Это начинает надоедать. Вы перестаете выполнять обещания.

Здесь я опять был не прав. В данном случае задача чисто математическая (как и у Лобачевского), и тоже достаточно мотивированная --- опять же, классификация алгебр.

Time в сообщении #566753 писал(а):

Лично мои статьи, насколько я помню, мы вообще с Вами ни разу не обсуждали. Вероятно из-за их еще большего удаления от "принятых канонов" математики и физики. Впрочем, из-за этого их действительно не имеет смысла даже начинать обсуждать.

Ну, Ваши с соавторами.

Time в сообщении #566753 писал(а):

Не торопитесь с "диагнозами". Коммутативным алгебрам, причем всем чохом Вы уже поспешили поставить. Равно как и связанным с ними финслеровым пространствам, и маячащим за ними алгебраическим фракталам.
Вернемся к формуле Коши лет через несколько..

Ну нет, алгебры $\mathbb R$ и $\mathbb C$ я вполне признаю. Я не верю в какие-то магические свойства их прямых сумм, не происходящие из самих компонент. По крайней мере, с точки зрения алгебры и анализа. У Вас все структуры, которые Вы рассматриваете, расщепляются в прямые суммы. Какой смысл тогда их рассматривать не по-отдельности?

Time в сообщении #566753 писал(а):

Чо так? Зря старался, выходит. :)

Нет, прочитать-то я их прочитал. Только текст напоминает профессионального копирайтера, уж извините. Сколько книг по теории струн Вы прочитали? И если хоть одну, то не мешали ли проблемы с квантовой механикой и уравнениями мат. физики?

Как-то надо уже сворачиваться, что ли...

[Time]

Цитата:

Любая полилинейная форма является структурой на многообразии. А именно, тензором соответствующего ранга.

У Вас точно с логикой не все впорядке. Билинейная симметрическая форма от двух векторов тоже структура на многообразии и была, вероятно, известна задолго до начала исследований Гамильтоном его кватернионов, а позднее Гиббсом и Хэвисайдом скалярного произведения в отрыве от кватернионов. Хотите сказать, что все трое только зря старались со своими вариантами скалярных произведений, вместо того, что бы признать"структуру на многообразии" - то есть симметрический тензор валентности два и сидеть себе, поплевывая и ничего не делая.. На фига какие-то там аксиомы и их конкретные применения, ведь есть же тензор и точка!

Цитата:

Я говорил лишь то, что все существующие геометрии являются структурами на многообразиях. И Ваша тоже.

С таким же успехом я могу все время говорить, что все мы творения Божие. И Ваши многообразия тоже. Такой подход не конструктивен. Но лично Вам я не могу и не стану его запрещать. Религия - дело сугубо личное и интимное..

Цитата:

Ну, Ваши с соавторами.

В моих статьях с соавторами, собственно мои, в основном одни идеи.

Цитата:

Ну нет, алгебры $\mathbb R$ и $\mathbb C$ я вполне признаю. Я не верю в какие-то магические свойства их прямых сумм, не происходящие из самих компонент. По крайней мере, с точки зрения алгебры и анализа. У Вас все структуры, которые Вы рассматриваете, расщепляются в прямые суммы. Какой смысл тогда их рассматривать не по-отдельности?

А Вы попробуйте геометрию псевдоевклидовой плоскости рассматривать исключительно так, как советуете. То есть, как две вещественные прямые и ничего более. Что у Вас останется от двумерной СТО? А ведь последняя еще эффективно расширяется на физические приложения группы конформных преобразований, которые помогают естественным образом осуществлять переходы уже между неинерциальными системами отсчета пространственно-временнОго двумерия. А так же демонстрируют совершенно не воспринятую Вами идею совсем даже нетривиального гиперболического поля и его "точечных" зарядов с аналогом для них закона Кулона и Ньютона, но для пространсвенно-временного, а не пространственного векторного поля. Всего этого нельзя даже на принципиальном уровне узреть в четырехмерном пространстве Минковского из-за отсутствия у него "необходимой" для этого богатой группы конформных преобразований. Зато можно в четырехмерном Бервальде-Мооре, плюс много чего еще можно, чего нельзя на плоскости. И это все в пространстве, которое в изотропном базисе расщепляется на прямую сумму четырех вещественных прямых. Впрочем, мы уже ходим по кругу. Если с третьего раза не дошло, значит, скорее всего, никогда не дойдет..

Цитата:

Нет, прочитать-то я их прочитал. Только текст напоминает профессионального копирайтера, уж извините. Сколько книг по теории струн Вы прочитали? И если хоть одну, то не мешали ли проблемы с квантовой механикой и уравнениями мат. физики?

Ни одной не прочитал. Только самые общие вводные положения.
Когда понятны причины бесполезности всего подхода целиком, совсем не обязательно вникать в детали. Я по флогистону так же ни одной книги не прочитал и так же могу заявить, что это тупиковый путь развития физики.

Цитата:

Как-то надо уже сворачиваться, что ли...

С Вами лично - согласен свернуться и сворачиваюсь. Если надумаете продолжить спрашивать, попросите повежливей, может откликнусь..

[bayak]

Time and g______d, вы требовали от меня контрпример, но тогда мне нечего было показать. Сейчас уже я могу кое-что представить, но это не совсем то что обещал, поскольку это не вращение, а поворот со сдвигом. Похоже, вы были правы - вращений там не существует. Подробности будут на выходных (если пожелаете).

[Oleg Zubelevich]

Time в сообщении #566715 писал(а):

книгу Гарасько:
http://hypercomplex.xpsweb.com/page.php?lang=ru&id=487

книжка, даже при беглом просмотре, содержит странные фразы

[Time]

Oleg Zubelevich в сообщении #566829 писал(а):

книжка, даже при беглом просмотре, содержит странные фразы

Вполне естественно, она же посвящена "странной" геометрии. Конечно, за разъяснениями следовало бы обращаться к автору, но если хотите, могу я попытаться дать комментарии. В крайнем случае, переадресую..

-- Чт май 03, 2012 13:48:38 --

bayak в сообщении #566789 писал(а):

Похоже, вы были правы - вращений там не существует. Подробности будут на выходных (если пожелаете

Там и конформных преобразований совсем мало. Так что, еще раз повторю, если хотите получить что-то действительно интересное, в частности, группу Лоренца, то другого варианта как разобраться с тринглами - нет. Но в любом случае готов посмотреть, что Вы там накопаете..

Есть еще одна мысль. Поскольку четырехмерные пространства Бервальда-Моора, Чернова и Минковского близкие родственники и получаются последовательно "сверху вниз" методом соприкосновения вдоль опорного векторного поля, можно рассмотреть абелеву группу гиперболических вращений в Бервальде-Мооре и попытаться понять, какие преобразования ей соответствуют в пространстве Чернова. Думаю, что в Минковском ей соответствуют обычные бусты, но это не факт и сейчас не важно, Вы же хотите с пространством Чернова разобраться... Впрочем, если не получится, шибко не ругайте, я просто хочу Вам помочь.

[bayak]

Сначала мне показалось, что есть положительный результат, но потом оказалось, что результат отрицательный. Впрочем, в подробностях это выглядит следующим образом.

Если полином Чернова представить в виде: $xy(z+t)+zt(x+y)$, то там можно выделить две дробно-линейные функции, а именно: $x+y=xy$ и $z+t=zt$, которые представляют собой неявное задание гипербол с центром в точке $(1,1)$, и которые как мне показалось должны были бы сохранять свой вид: $x'+y'=x'y'$, $z'+t'=z't'$ при финслеровых поворотах со сдвигом. Тогда сохранение формы Чернова было бы обеспечено следующим уравнением:

$$xy(z+t)+zt(x+y)=2(x+y)(z+t)= 2(x'+y')''(z'+t')''.$$

Однако, это неверно, поскольку всё портят сдвиги, а вращений, сохраняющих дробно-линейную функцию, не существует.

Для того, чтобы подтвердить этот отрицательный результат, попробуем зайти с другой стороны. Пусть у нас имеется функция (многочлен Чернова): $r=yzt+xzt+xyt+xyz$, а нам надо найти линейные векторные поля, касательные к поверхности уровня этой функции. Если бы мы нашли конечномерную алгебру Ли этих гипотетических касательных векторных полей, то легко восстановили бы по ней и соответствующую группу Ли. Итак,

$$dr=(zt+yt+yz)dx+(zt+xt+xz)dy+(yt+xt+xy)dz+(xz+yz+xy)dt,$$

а нас интересуют такие линейные векторные поля $\partial s=s_{x}\partial x+s_{y}\partial y+s_{z}\partial z+s_{t}\partial t$, что $\left\langle dr,\partial s\right\rangle\equiv 0$, т.е., такие, что их свёртка с дифференциалом алгебраически аннулируется, причём все коэффициенты поля $\partial s$ - линейные функции. Мне не удалось подобрать такие коэффициенты, откуда я сделал вывод, что непрерывных линейных преобразований, сохраняющих метрику Чернова не существует.

[hamilton]

Time в сообщении #566715 писал(а):

По этой логике, кватернионы не очень интересны, что и подтвердили прошедшие с момента их изобретения 170 лет.

с таким же успехом можно было говорить, что аксиоматика Лобачевского не очень интересна, пока не пришел Бельтрами...
и были многие серьезные ученые, которые действительно так думали.

А теперь можно сопоставить, сколько лет прошло до нахождения реальных приложений аксиоматики Лобачевского
и сколько - до нахождения приложения функций кватернионной переменной со времени их открытия...
вот тогда и можно судить о глубине и трудности соответствующей проблематики.
Пуанкаре высказал свое мнение относительно кватернионов Гамильтона в 1903 году в мемуаре "Отчет о работах Гильберта, представленных Казанскому физико-математическому обществу для соискания международной премии имени Лобачевского" (с.106): "Здесь мы имеем революцию, совершенно подобную той, которую Лобачевский произвел в геометрии".
Даже такому гиганту не удалось развить теорию функций кватернионной переменной в свое время. Зато во многом благодаря Пуанкаре появилась на свет могучая теория теория функций нескольких комплексных переменных. Ее оказалось построить на порядок проще - вот такие дела на сегодняшний день...

но, вообще говоря, я искренне рад за Time - уровень его образования заметно повысился за прошедшие полгода

-- Вт май 08, 2012 20:39:06 --

Time в сообщении #566715 писал(а):

Конформные же преобразования имеют отношение не столько к умножению, сколько к аналитическим функциям. На кватернионах умножение так же есть, а вот с конформными преобразованиями в соответствующем пространстве совсем плохо. Всего 15-параметрическая группа. Кстати, в точности равная группе аналитических функций кватернионной переменной.

корень его отторжения функций кватернионной переменной лежит в этой фразе, которая грубо ошибочна.
Если Time поймет, в чем здесь состоит заблуждение, глядишь, и перестанет воспринимать кватернионы в штыки.
Однако придется копать еще глубже, чем он делает сейчас...

-- Вт май 08, 2012 20:55:42 --

g______d в сообщении #566554 писал(а):

Любая среда с переменными характеристиками задает неевклидову геометрию.

в этом и заключается ядро для правильного понимания функций кватернионной переменной и соответствующего корректного развития метода комплексного потенциала.
Как ни странно, на определенном этапе развития неевклидова геометрия Лобачевского и функции кватернионной переменной начинают взаимодействовать.Это и показал Лойтвилер в Эрлангенском университете в 1992 году.
Как раз там, где была написана знаменитая Эрлангенская программа Клейна в 1872...

-- Вт май 08, 2012 21:08:32 --

g______d в сообщении #566733 писал(а):

Неужели кто-то серьезно что-то ищет в классической физике?

Конечно, классическая физика далеко не исчерпала себя с приходом квантовой. Есть классические задачи, которые не решаются тысячами лет, хотя они хорошо известны.

[bayak]

hamilton в сообщении #568835 писал(а):

корень его отторжения функций кватернионной переменной лежит в этой фразе, которая грубо ошибочна. Если Time поймет, в чем здесь состоит заблуждение, глядишь, и перестанет воспринимать кватернионы в штыки.Однако придется копать еще глубже, чем он делает сейчас...

А Вы помогите понять. Кватернионы как-то соотносятся с физическим прострнаством? Насколько я понимаю они связаны (по норме) с 3-сферой и с 3-мерным евклидовым пространством как с пространством, которое вкладывается в алгебру кватернионов, а для того, чтобы включить в эту схему время понадобится пара кватернионов.