Асимптотика интеграла

[Taus]

Можно ли в интеграле вида:

$$\int\limits_0^{+\infty} \left(\dfrac{a}{b} - \dfrac{1-e^{a s^2}}{1 - e^{b s^2}}e^{-\lambda s^2} \right) \dfrac{\cos{s x}}{s^2}\, ds,\ b \geq a, \lambda \gg 1$$

вынести из скобки множитель $e^{-\lambda s^2}$ и далее получать асимптотику интеграла по методу Лапласа?
И более общий вопрос, может ли в методе Лапласа подынтегральная функция зависеть от $\lambda$, кроме самой экспоненты?

П.С. понял почему не может и вообще так делать нельзя, но ответ получается верный .
Теперь новый вопрос, каким образом получить хотя бы первый член асимптотики этого интеграла при $\lambda \rightarrow \infty$?

[Хорхе]

Как первый член асимптотики получить, понятно: возникает он из расходящегося в нуле интеграла $\int_0 \frac{ds}{s^2}$. И поэтому можно смело исследовать вместо исходного интеграла такой (обосновать переход к нему легко):

$$ \frac ab\int_0^1 \left(1 -e^{-\lambda s^2}\right)\frac{ds}{s^2}. $$

Дальше более-менее очевидно, что с ним делать.

[Taus]

Хорхе, спасибо! Понял, что надо сделать замену $s\sqrt{\lambda} = k$. А дальше раскладывать функции по степеням $1/\lambda$.