Исследовать на равномерную непрерывность

[Dosaev]

Исследовать на равномерную непрерывность на множестве $[0; +\infty]$ функцию:
$f(x) =\left\{ \begin{aligned} x\sin 1/x, x \not = 0\\ 0, x = 0;\\ \end{aligned} \right.$

$0 \le |f(x)| \le |x|.$ Из этого неравенства следует, что функция непрерывна в 0.
В остальных точках функция $f(x)$ будет непрерывна по теореме о сложной функции и об арифметических операциях непрерывных функций. По теореме Кантора она будет равномерно непрерывна на $[0; +\infty]$
Можно так решить?

[Someone]

Только одно замечание: теорема Кантора относится к отрезку, и к промежутку $[0,+\infty)$ неприменима.

[Dosaev]

Хорошо, у нас ведь непрерывная функция непрерывна на объединении любого числа отрезков? Можно написать так: $\forall b > 0 f(x)$ - непрерывна на отрезке $[0, b] \Rightarrow$ - равномерно непрерывна по т. Кантора на [$0; +\infty)$.

[xmaister]

$[0,\infty)$- не компактно.

[Someone]

Не пройдёт. Контрпример - $f(x)=x^2$.

[Dosaev]

Хм... и как же тогда быть?

[Someone]

Разбить на две части, например, $[0,10]$ и $[10,+\infty)$. Для первой части можете сослаться на теорему Кантора, а для второй части придётся доказывать, используя, например, определение равномерной непрерывности.

[Dosaev]

Что-то ничего на ум не лезет. Если рассматривать например $[1; +\infty)$, то оценивая разность
$|x_1\sin\frac{1}{x_1} - x_2\sin\frac{1}{x_2}| \le |x_1\sin\frac{1}{x_1}| + |x_2\sin\frac{1}{x_2}| \le |x_1\frac{1}{x_1}| + |x_2\frac{1}{x_2}| = 2$
не получается составить ни определение, ни отрицание равномерной непрерывности. Проблема в том, что в отрицании не получается подобрать соответствующие $x_1, x_2.$

[Someone]

Ну так а какое определение равномерной непрерывности? Сможете сформулировать?

[Dosaev]

$\forall \varepsilon > 0 \exists \delta(\varepsilon) > 0: \forall x_1, x_2 \in E |x_1 - x_2| < \delta \to |f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon.$

У нас ведь эпсилон не конкретно 2, а любое.

[Dan B-Yallay]

Замечательные пределы проходили когда нибудь?

[Dosaev]

Хм, да. Тут первый замечательный предел. А чем он тут замечателен? Единственное что могу сказать, что данная функция ограничена начиная с какого-то $x$.

[Dan B-Yallay]

Слабовато.
Первый замечательный утверждает нечто более сильное, нежели просто ограниченность.

[ewert]

Dosaev в сообщении #566364 писал(а):

Если рассматривать например $[1; +\infty)$, то оценивая разность

Не надо оценивать разность -- оцените просто производную.

[Someone]

Dosaev в сообщении #566364 писал(а):

$|x_1\sin\frac{1}{x_1} - x_2\sin\frac{1}{x_2}| \le |x_1\sin\frac{1}{x_1}| + |x_2\sin\frac{1}{x_2}| \le |x_1\frac{1}{x_1}| + |x_2\frac{1}{x_2}| = 2$

Во-первых, нужно сначала задать произвольное $\varepsilon>0$ и для него подбирать $\delta>0$. Во-вторых, начало вычислений могло бы выглядеть так: $|x_1\sin\frac 1{x_1}-x_2\sin\frac 1{x_2}|=$ $\left|\left(x_1\sin\frac 1{x_1}-x_1\sin\frac 1{x_2}\right)+\left(x_1\sin\frac 1{x_2}-x_2\sin\frac 1{x_2}\right)\right|=\ldots$ В-третьих, возможно, следует прислушаться к совету ewertа. Надеюсь, теоремы Ролля, Лагранжа, Коши помните?