Производная от матричной функции

[andreso]

Имеется матричная функция вида:
$ F(x)= (E-N(x))^{-1}\cdot (K(x)+L(x)) $

где $N(x)=e^{(A_{1}\cdot x)}$

$K(x)=e^{(A_{2}\cdot x)}$

$L(x)=e^{(A_{3}\cdot x)}$,

где $A_{1}, A_{2}, A_{3} $ - матрицы 2x2

Требуется найти производную.

Ищется в виде:
$ F'(x)= \frac{dN}{dx}(x)\cdot (E-N(x))^{-2}\cdot (K(x)+L(x)) + (E-N(x))^{-1}\cdot (\frac{dK}{dx}(x)+\frac{dL}{dx}(x)) $,

где $\frac{dN}{dx}(x)=A_{1}\cdot e^{(A_{1}\cdot x)}$

$\frac{dK}{dx}(x)=A_{2}\cdot e^{(A_{2}\cdot x)}$
$\frac{dL}{dx}(x)=A_{3}\cdot e^{(A_{3}\cdot x)}$

Правильность аналитического вычисления проверяю численно:
$ F'(x)=\frac{F(x+h)-F(x)}{h} $

$h=10^{-10}$ (в процессе проверки варьировался).

Имеются некоторые расхождения.

При чем если аналитическую производную записать в следующем виде расхождения меньше:
$ F'(x)=(E-N(x))^{-2}\cdot \frac{dN}{dx}(x)\cdot (K(x)+L(x)) + (E-N(x))^{-1}\cdot (\frac{dK}{dx}(x)+\frac{dL}{dx}(x)) $.

Собственно вопрос общий. Как правильно в подобных случаях выбрать порядок следования матриц-сомножителей в выражении? У меня есть случаи и сложнее - там вообще запутаться можно.

[andreso]

Up

[g______d]

Ну смотрите. $0=(A(t)A(t)^{-1})'=A'(t)A^{-1}(t)+A(t)(A^{-1})'(t)$, откуда $(A^{-1})'=-A^{-1}A'A^{-1}$. И так же с остальными свойствами производной --- мы переносим доказательства, а не формулировки.

[ewert]

$$(A^{-1})'=\lim\frac1{\Delta t}\big(A^{-1}(t+\Delta t)-A^{-1}(t)\big)=\lim\frac1{\Delta t}\cdot A^{-1}(t+\Delta t)\big(A(t)-A(t+\Delta t)\big)A^{-1}(t)$$

(формула Гильберта). Т.е. $=-A^{-1}A'A^{-1}$. С произведением ещё проще -- нужна лишь аккуратность.