Задача:

- самосопряженный оператор, со спектром

,

и

компактны,

Доказать что

можно представить в виде прямой суммы операторов со спектрами

и

соответственно.
Что мне известно:
спектр самосопряженного оператора лежит на отрезке
![$[\sigma_{-},\sigma_{+}]$ $[\sigma_{-},\sigma_{+}]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/0/9/60953787027f74aa1bf05d1871cbb62182.png)
, где

и теорема Вейля: число

принадлежит спектру самосопр. оператора

тогда и только тогда, когда существует такая последовательность

, что

Пробую доказывать так:
рассмотрим все

лежащие в

. Для каждого

рассмотрим последовательность

из теоремы. Рассмотрим замыкание линейной оболочки объединения всех таких последовательностей

. Положим сужение

на

первым оператором, на ортогональное дополнение к

вторым оператором.
Получим искомое.
Почему-то кажется это неверно.