Инфинум Функционала

[Mysterious Light]

Добрый день! Помогите, пожалуйста, найти инфинум образа функционала.

В пространстве $\mathfrak{N}=\{u\in C^2[0,1]\colon u(0)=0, \int u^2dx=1\}$ задан функционал $J(u)=\int ((u')^2-u''u)dx=\int (u')^2dx+u^2(1)$. Нужно найти его минимум.

Попробую объяснить, почему инфинум образа существует. Пусть функционал принимает значение $M$, тогда $\mathfrak{M}=\{u\in\mathfrak{N} | \int(u')^2dx \leq M\}$ предкомпактно в С-метрике, из $\int u^2dx+\int (u')^2dx \leq M+1$. Непрерывный образ замыкания компактен, а значит инфинум достигается, может и на знамыкании $\mathfrak{M}$ или $\mathfrak{N}$. Правда, я не уверен, что могу доказать непрерывность $J$, но в это верю )

Что делать дальше, я не могу придумать.

[ewert]

Mysterious Light в сообщении #566101 писал(а):

функционал $J(u)=\int ((u')^2-u''u)dx=\int (u')^2dx+u^2(1)$.

Это -- квадратичная форма оператора $-\dfrac{d^2}{dx^2}$ с областью определения, задаваемой граничными условиями $u(0)=0$ и $u(1)+u'(1)=0$. Соответственно, его инфимум и даже минимум (но не инфинум) достигается на первой собственной функции и равен наименьшему собственному числу. Уравнение на собственное число получится трансцедентным.

Т.е. я имел в виду правый интеграл; а какое отношение он имеет к левому -- не знаю.

[Mysterious Light]

ewert в сообщении #566112 писал(а):

Это -- квадратичная форма оператора $-\dfrac{d^2}{dx^2}$

$\int\limits_0^1 u(-\dfrac{d^2}{dx^2})udx=\int\limits_0^1(u')^2dx-u'(1)u(1)$
На множестве $\{u\in C^2[0,1] | u(0)=0,\;u(1)+u'(1)=0,\;\int\limits_0^1u^2dx=1\}$ они совпадают, но ведь есть же и те $u\in\mathfrak{M}$, что $u(1)+u'(1)\neq 0$. Почему инфинум квадратичной формы является инфинумом и для исходного функционала?

[ewert]

Mysterious Light в сообщении #566133 писал(а):

есть же и те $u\in\mathfrak{M}$, что $u(1)+u'(1)\neq 0$. Почему инфинум квадратичной формы является инфинумом и для исходного функционала?

Это стандарт: при замыкании области определения в метрике, задаваемой функционалом, граничное условие на правом конце исчезает, т.к. эта метрика не держит значений производной в отдельных точках. А вот значения самой функции -- держит, поэтому условие на левом конце сохраняется.