2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Упростить (двойные суммы)
Сообщение01.03.2007, 23:39 
См.Я упрощаю формулу:
$$
\sum\limits_{s = 1}^q {\sum\limits_{j = 0}^\infty  {s \cdot \lambda ^{s + j}  \cdot z^j } }  = \left[ \begin{array}{l}
 s + j = m \\ 
  \\ 
 \end{array} \right] = \sum\limits_{m = 1}^\infty  {\sum\limits_{s = 1}^{\min (q,m)} {\lambda ^m  \cdot z^{m - s}  \cdot ?} } 
$$
На что надо умножить,чтобы формулу получились одинаковыми?

 
 
 
 
Сообщение01.03.2007, 23:54 
Аватара пользователя
:evil:
На $s$. Сумма показателя степени $z$ и коэффициента равна показателю степени $\lambda$.

Цель немного мутная, поскольку все считается: $\frac{\lambda(1-\lambda^q-q \lambda^q+q \lambda^{q+1})}{(1-\lambda)^2(1-\lambda z)}$

 
 
 
 
Сообщение02.03.2007, 07:54 
незваный гость как это Ввы сосчитали эту формулу? :oops:

 
 
 
 
Сообщение02.03.2007, 09:37 
Аватара пользователя
Несколько раз применяются суммы геометрической прогрессии.

 
 
 
 
Сообщение02.03.2007, 09:40 
Аватара пользователя
:evil:
$ \sum\limits_{s = 1}^q {\sum\limits_{j = 0}^\infty {s \cdot \lambda ^{s + j} \cdot z^j } } = $ $ \sum\limits_{s = 1}^q s \lambda^s {\sum\limits_{j = 0}^\infty {\lambda ^{ j} \cdot z^j } } = $ $ (\sum\limits_{s = 1}^q s \lambda^s) ( {\sum\limits_{j = 0}^\infty {(\lambda z)  ^{ j}  } }) = $ $\lambda (\sum\limits_{s = 1}^q s \lambda^{s-1}) (\frac{1}{1-\lambda }) = $ $\frac{\lambda}{1 - \lambda z} \ \frac{\rm d}{{\rm d} \lambda} \sum\limits_{s=0}{q} \lambda^s = $ $\frac{\lambda}{1 - \lambda z} \ \frac{\rm d}{{\rm d} \lambda} \frac{1-\lambda^{q+1}}{1-\lambda}$

 
 
 
 
Сообщение03.03.2007, 23:50 
если в формуле
$$
\sum\limits_{k=1}^q \sum\limits_{j=0}^N S_{k+j} c_j z^j
$$
сделать замену $k+j=m$, то как изменится эта формула?

 
 
 
 
Сообщение07.03.2007, 17:07 
Ну как изменится-то?

 
 
 
 
Сообщение07.03.2007, 18:04 
Кажется, получится так:

$$
\sum\limits_{k=1}^q \sum\limits_{j=0}^N S_{k+j} c_j z^j=\sum\limits_{m=1}^{q+N} S_m \sum\limits_{j=\max(0,m-q)}^{\min(N,m-1)} c_j z^j
$$

 
 
 
 
Сообщение07.03.2007, 19:47 
Как записать в виде факториала такое выражение в зависимости от $s$. Например,
$$
s=5: 1*3, 
s=7: 1*3*5, 
s=9: 1*3*5*7
$$
и такое выражение/ y
$$
s=5: 2*4,
s=7: 2*4*6,
s=9: 2*4*6*8
$$

 
 
 
 
Сообщение07.03.2007, 19:58 
Аватара пользователя
:evil:
1) $(s-2)!!$
2) $(s-1)!!$

Двойной факториал $n!!$— суть произведение чисел одинаковой с $n$ четности и не превосходящих $n$.

 
 
 
 
Сообщение07.03.2007, 21:17 
А можно такую формулу упростить:
$$
\frac{(s-1)! (s-1)!!}{(s-2)!!}
$$

 
 
 
 
Сообщение07.03.2007, 21:31 
Аватара пользователя
$(s-1)!=(s-2)!!(s-1)!!$

 
 
 
 
Сообщение07.03.2007, 21:39 
Ага.Тогда такой вопрос.А такой ряд сходится?
$$
\sum_{k=0}^{m-1} [(k-2)!!]^2 t^{2m-2k},
$$
где m -- натуральное число.

 
 
 
 
Сообщение07.03.2007, 21:54 
Аватара пользователя
:evil:
Это не ряд. Это полином.

Для общего понимания:
1) $n! = n!! (n-1)!!$ (как и сказал Someone)
2) $(2k)!! = 2^k k!$
3) $(2k+1)!! = \frac{(2k+1)!}{2^k k!}$
4) $n!! = (\frac{2}{\pi})^{\frac{1-\cos(\pi n)}{4}}2^{n/2} \Gamma(\frac{n}{2}+1)$ — Это выражение показывает, как он растет.

 
 
 [ Сообщений: 14 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group