Линал. Задача на собственные векторы

[Dosaev]

В общем дана матрица линейного преобразования 3 на 3, элементы которой 1/3.
Нужно найти собственные значения, собственные подпространства и привести к диагональному виду матрицу линейного преобразования.

Первые два пункта я сделал. У меня сложности возникли с последним.
Вот я нашел собственные значения $\lambda_{1} = 1, \lambda_{2,3} = 0.$ По определению на главной диагонали матрицы должны стоять эти значения. И что в этом заключается весь последний пункт? Не до конца понимаю смысл этой диагональной матрицы.

[мат-ламер]

А Вы уверены, что эту матрицу вообще можно привести к диагональному виду? Ведь не каждую матрицу можно привести. Тем более тут кратные собственные значения. Однако, если в условии просят привести к диагональному виду, то как бы этим намекают, что приведение возможно.

[Dosaev]

мат-ламер в сообщении #566026 писал(а):

А Вы уверены, что эту матрицу вообще можно привести к диагональному виду?

Да, потому что получился базис, из трех собственных векторов. То есть размерность матрицы равна 3, такая же как у исходной матрицы.
До меня вроде дошло, для чего нужна диагональная матрица. Эта матрица линейного преобразования в базисе собственных векторов. То есть, например, нам дается матрица лин. преобразования в стандартном базисе (как в исходном примере), мы, найдя базис из собственных векторов, можем найти матрицу перехода между станд. базисом и собственным. То тогда диагональную матрицу мы можем найти по известной формуле: $S^{-1} AS$. На главной ее диагонали должны стоять найденные нами ранее собственные значения.

[bot]

Dosaev в сообщении #566037 писал(а):

Да, потому что получился базис, из трех собственных векторов.

Да, потому что для симметричной матрицы он не мог не получиться.