Лагранжиан

[antoshka1303]

Дано
$ max\limits_{p} = \sum\limits_{i = 1}^n }p_i$$\log$$ p_i$
$ c = \sum\limits_{i = 1}^n }p_{i} i^2$
$ 1= \sum\limits_{i = 1}^n }p_{i}$
Необходимо найти

1.$L(p, \lambda, \theta)$

2. Продифференцировать по $p\limits_{j}$
3. Найти оптимальную $p\limits_{j}^*$
У меня получилось
$L(p, \lambda, \theta)= \sum\limits_{i = 1}^n }p_i$$\log$$ p_i +\lambda( \sum\limits_{i = 1}^n }p_{i} i^2$ - c)+\theta(\sum\limits_{i = 1}^n }p_{i}-1)$
диффенцируем
${\frac{{\partial L}} {{\partial p_i }}=log p_i + 1 + \lambda i^2+\theta$
Чтобы найти оптимальную $p\limits_{j}^*$, приравняем все частные производные нулю, имеем:
${\frac{{\partial L}} {{\partial p_i }}=log p_i + 1 + \lambda i^2+\theta = 0$

${\frac{{\partial L}} {{\partial \theta }}=\sum\limits_{i = 1}^n }p_{i} i^2 - c = 0$

${\frac{{\partial L}} {{\partial \lambda }}= \sum\limits_{i = 1}^n }p_{i} -1 = 0$
Как решать такую систему уравнений, надо найти
$p, \lambda, \theta$
Если потенциировать первое уравнение из трех, то получается
$p\limits_{j}^* = e^ {-1-\lambda i^2-\theta}$
Как дальше искать $ \lambda, \theta$???

[мат-ламер]

Из первого уравнения вычитайте второе, из второго третье и т.д. (Два последних не трогать). Далее все $p_i$ можно выразить через $p_1$ и $\lambda$. Далее это всё подставляем в последние два уравнения.

[antoshka1303]

мат-ламер в сообщении #565966 писал(а):

Из первого уравнения вычитайте второе, из второго третье и т.д. (Два последних не трогать). Далее все $p_i$ можно выразить через $p_1$ и $\lambda$. Далее это всё подставляем в последние два уравнения.

Получилось вот такое, как дальше??если два последних(то есть ограничения!!!) не трогать???!!!
$ \[{p_i} = {p_1}{e^{{i^2\lambda}}}\]$
имеем:
$ \[\begin{array}{l} {p_1}\sum\limits_{i = 1}^n {{e^{{i^2}\lambda }}} - 1 = 0{\kern 1pt} \to {p_1} = \frac{1}{{\sum\limits_{i = 1}^n {{e^{{i^2}\lambda }}} }}\\ {p_1}\sum\limits_{i = 1}^n {{i^2}{e^{{i^2}\lambda }}} - c = 0\\ \\ \frac{1}{{\sum\limits_{i = 1}^n {{e^{{i^2}\lambda }}} }}\sum\limits_{i = 1}^n {{i^2}{e^{{i^2}\lambda }}} - c = 0 \end{array}\]$
Как отсюда найти
\lambda$?