Найти объем тела, ограниченного поверхностями

[larkova_alina]

Найти объем тела, ограниченного поверхностями: $x=x^2+y^2,\;\;$ $z=0,\;\;$ $z=x^2+y^2.$

Первая поверхность - это цилиндр: $\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+y^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2$.

$V=\int\int\int dxdydz=\int\limits_0^1 dx \int \limits_{-\sqrt{x^2-x}}^{\sqrt{x^2-x}} dy \int \limits_0^{x^2+y^2} dz=\int\limits_0^1 dx \int \limits_{-\sqrt{x^2-x}}^{\sqrt{x^2-x}} dy \left(x^2+y^2\right)=$
$=\int\limits_0^1 \sqrt{x^2-x}\left(\frac{8}{3}x^2-\frac{2}{3}x\right) dx=\left(\frac{\sqrt{x-1}\sqrt{x}\left( 32x^3-16x^2-4x-6\right)-3\ln\left(2x+2\sqrt{x-1}\sqrt{x}-1 \right)}{48}\right)\bigg |_0^1=$

Тут в логарифме получается отрицательное число (но даже, если брать модуль, объем будет равен нулю). Видимо где-то ошибка, но я никак не могу ее отыскать. Помогите пожалуйста.
Меня смущает этот огромный интеграл. Вряд ли предполагалось в таком простом задании брать такой огромный и сложный интеграл.

[Dan B-Yallay]

С цилиндрическими координатами знакомы?

[larkova_alina]

Dan B-Yallay в сообщении #565917 писал(а):

С цилиндрическими координатами знакомы?

Ну вроде да. А без них никак?

[Dan B-Yallay]

Без них можно и Вы уже попробовали.

[larkova_alina]

Начало цилиндрических координат надо поместить в плоскости $xy$, а ось $z$ совместить с осью цилиндра?

[Dan B-Yallay]

larkova_alina писал(а):

$$= ... \left(\frac{8}{3}x^2-\frac{2}{3}x\right) dx=$$

Откуда знак минус внутри скобок ?
UPD ...Понял.
-- Пн апр 30, 2012 10:14:11 --

larkova_alina в сообщении #565922 писал(а):

Начало цилиндрических координат надо поместить в плоскости , а ось совместить с осью цилиндра?

Да.

-- Пн апр 30, 2012 10:22:55 --

У Вас ошибка в пределах интегрирования по $y$:

$$x=x^2+y^2 \quad \to \quad y^2 = x-x^2 \quad \to \quad y=\pm \sqrt{x-x^2} $$

Поэтому минуса в скобке быть не должно и коэффициент при $x^2$ поменяется.

[larkova_alina]

$\int\limits_0^1 dx \int \limits_{-\sqrt{x^2-x}}^{\sqrt{x^2-x}} dy \left(x^2+y^2\right)=\int\limits_0^1 dx \left(x^2y+\frac{y^3}{3}\right) \bigg |_{-\sqrt{x^2-x}}^{\sqrt{x^2-x}}=$
$=\int\limits_0^1 dx \left(x^2\sqrt{x^2-x}+\frac{\sqrt{x^2-x}^3}{3} - x^2\left( -\sqrt{x^2-x}\right) -\frac{\left(-\sqrt{x^2-x}\right)^3}{3} \right)=\int\limits_0^1 dx \left( 2x^2\sqrt{x^2-x}+\frac{2}{3}\sqrt{x^2-x}^3\right)=\int\limits_0^1 dx \sqrt{x^2-x} \left( \frac{8}{3}x^2-\frac{2}{3}x\right).$

[Dan B-Yallay]

Спасибо, я уже это понял.

Dan B-Yallay в сообщении #565923 писал(а):

У Вас ошибка в пределах интегрирования по $y$ :

$$x=x^2+y^2 \quad \to \quad y^2 = x-x^2 \quad \to \quad y=\pm \sqrt{x-x^2} $$

Поэтому минуса в скобке быть не должно и коэффициент при $x^2$ поменяется.

[larkova_alina]

После исправления ошибок:
$...=\frac{2}{3}\int \limits_0^1 \sqrt{x-x^2}\left(2x^2+x\right) dx=\left(\frac{9\arcsin (2x-1)+\sqrt{1-x}\sqrt{x}(32x^3+16x^2-12x-18)}{96}\right)\bigg|_0^1=$
$=\frac{3\pi}{32}.$

[Dan B-Yallay]

У меня такой же ответ

[larkova_alina]

Спасибо, Dan B-Yallay, за помощь. Сейчас буду пытаться в цилиндрических решить.