Что такое число?

[apriv]

Fafner в сообщении #565709 писал(а):

Но тут будет в определении использоватся то понятие, которое определяется. Тоесть - оно будет определятся через самого себя. Разве так можна?

Нет, не будет. Где?

[Fafner]

apriv в сообщении #565706 писал(а):

Если мы говорим об эвклидовой геометрии, то точками (прямыми, отношением принадлежности, ...) этой геометрии называется то, что удовлетворяет следующим аксиомам: через любые две точки можно провести прямую, ...

Слева - понятие что определяется, в даном случае точка, в правой стороне собственно определение этого понятия. Аксиомы - пусть, но когда в них используется тот же термин, что и слева (тоесть то, что мы пытаемся определить), получается что то не то. Мы ходим по кругу.

[apriv]

Fafner в сообщении #565712 писал(а):

Слева - понятие что определяется, в даном случае точка, в правой стороне собственно определение этого понятия. Аксиомы - пусть, но когда в них используется тот же термин, что и слева (тоесть то, что мы пытаемся определить), получается что то не то. Мы ходим по кругу.

Еще раз. Эвклидовой геометрией называется набор $(P,L,R)$, где $P$, $L$ — множества, $R$ — отношение между $P$ и $L$, такие, что 1) для любых $x,y\in P$, $x\neq y$, существует единственный элемент $l\in L$ такой, что $xRl$ и $yRl$; 2) следующая аксиома, и так далее. Если это все выполнено, то элементы множества $P$ называются точками этой геометрии, элементы множества $L$ — ее прямыми, а отношение $R$ — отношением инцидентности. Конечно, в суровой аксиоматически-эвклидовой реальности еще нужны данные типа «лежать между» и те де; гораздо проще честно сказать, что эвклидова плоскость — это главное однородное пространство над аддитивной группой двумерного вещественного векторного пространства с положительно определенной симметрической билинейной формой.

[Fafner]

Извините, но я этого не знал. Более того - мне стыдно, что через 2 недели надо сдавать госэкзамен с математики, а такое определение Эвклидовой геометрии впервые вижу. В какой книге, о этом можна почитать подробнее?

[Munin]

apriv в сообщении #565714 писал(а):

гораздо проще честно сказать, что эвклидова плоскость — это главное однородное пространство над аддитивной группой двумерного вещественного векторного пространства...

А сразу "над векторным пространством" сказать нельзя?

[arseniiv]

Fafner в сообщении #565712 писал(а):

Слева - понятие что определяется, в даном случае точка, в правой стороне собственно определение этого понятия. Аксиомы - пусть, но когда в них используется тот же термин, что и слева (тоесть то, что мы пытаемся определить), получается что то не то. Мы ходим по кругу.

Ну, это вы мало определений видели.

А индуктивные определения вас не беспокоят?

[apriv]

Fafner в сообщении #565715 писал(а):

Извините, но я этого не знал. Более того - мне стыдно, что через 2 недели надо сдавать госэкзамен с математики, а такое определение Эвклидовой геометрии впервые вижу. В какой книге, о этом можна почитать подробнее?

Не знаю, честно говоря. Есть книжка «Геометрическая алгебра» Артина, но там немного в другую сторону уклон. Ну и есть абстрактные геометрии в смысле пространства флагов. А вообще это идет еще с Гильберта и его цитатой про пивные кружки.

-- 30.04.2012, 18:18 --

Munin в сообщении #565738 писал(а):

А сразу "над векторным пространством" сказать нельзя?

Да можно, конечно.

[Fafner]

arseniiv в сообщении #565791 писал(а):

Fafner в сообщении #565712 писал(а):

Слева - понятие что определяется, в даном случае точка, в правой стороне собственно определение этого понятия. Аксиомы - пусть, но когда в них используется тот же термин, что и слева (тоесть то, что мы пытаемся определить), получается что то не то. Мы ходим по кругу.

Ну, это вы мало определений видели.

А индуктивные определения вас не беспокоят?

да, согласен - мало))

В каком смысле, не беспокоят? Индуктивные, когда вводится постепенно, более привычны. (Если правильно понимаю значение "индуктивное определение")

-- 01.05.2012, 15:12 --

apriv в сообщении #565867 писал(а):

Не знаю, честно говоря. Есть книжка «Геометрическая алгебра» Артина, но там немного в другую сторону уклон. Ну и есть абстрактные геометрии в смысле пространства флагов. А вообще это идет еще с Гильберта и его цитатой про пивные кружки.

Гильберт говорил (может не точна цитата), что "можна заменить точку, пряму, плоскость на стол, стулья и пивные кружки" и от этого ничего не изменится. Но у него так же была система аксиом, (вроде 21), которая удовлетворяла некоторым требованиям (полнота, непротиворечивость, независимость), но что б там говорилось о определении точок\прямых\плоскостей в эвклидовом пространстве не знаю.

[arseniiv]

Fafner в сообщении #566249 писал(а):

В каком смысле, не беспокоят? Индуктивные, когда вводится постепенно, более привычны. (Если правильно понимаю значение "индуктивное определение")

Ну, к примеру, как вам такое определение?:

1. Если $x$ — переменная, то $x$ — формула.
2. Если $a$ — формула, то $\neg a$ — формула.
3. Если $a, b$ — формулы, то $(a \vee b)$, $(a \wedge b)$, $(a \to b)$ — формулы.
4. Множество формул — наименьшее по включению из множеств, соответствующих первым пунктам.

Оно определяет (правильно построенные) формулы логики высказываний. 4-й пункт нужен, чтобы указать, что вещи вида $z\wedge\vee xy$ формулами не являются.

Множество переменных перед этим, конечно, тоже должно быть определено. Как правило, его берут счётным. Можно его построить из латинских букв со всевозможными натуральночисленными индексами, а можно тоже индуктивно:

1. $v \in V$ ($v$ — константа);
2. $x \in V \Rightarrow x' \in V$

(за $V$ обозначено множество переменных).

В этом определении $V$ состоит из объектов вида $v''''''$ с целым неотрицательными количеством штрихов. Для использования может оказаться неудобным — для формального описания теории достаточно.

[apriv]

Fafner в сообщении #566249 писал(а):

Гильберт говорил (может не точна цитата), что "можна заменить точку, пряму, плоскость на стол, стулья и пивные кружки" и от этого ничего не изменится.

Смысл был как раз в том, что если столы, стулья и кружки удовлетворяют каким-то там аксиомам, то они ничуть не хуже точек, прямых и плоскостей. Эти аксиомы (21 штука) Гильберта как раз и являются определением точек, прямых, плоскостей и всяких отношений между ними.

[CTO-OTO-2]

огласите весь список, пожалуйста

[Xaositect]

Аксиоматика Гильберта

[Toucan]

CTO-OTO-2 - клон пользователя Crutoy Pazan (и еще пары десятков персонажей). Забанен.