Упростить (двойные суммы)

[Falex]

См.Я упрощаю формулу:

$$ \sum\limits_{s = 1}^q {\sum\limits_{j = 0}^\infty {s \cdot \lambda ^{s + j} \cdot z^j } } = \left[ \begin{array}{l} s + j = m \\ \\ \end{array} \right] = \sum\limits_{m = 1}^\infty {\sum\limits_{s = 1}^{\min (q,m)} {\lambda ^m \cdot z^{m - s} \cdot ?} } $$

На что надо умножить,чтобы формулу получились одинаковыми?

[незваный гость]

На $s$. Сумма показателя степени $z$ и коэффициента равна показателю степени $\lambda$.

Цель немного мутная, поскольку все считается: $\frac{\lambda(1-\lambda^q-q \lambda^q+q \lambda^{q+1})}{(1-\lambda)^2(1-\lambda z)}$

[Falex]

незваный гость как это Ввы сосчитали эту формулу?

[PAV]

Несколько раз применяются суммы геометрической прогрессии.

[незваный гость]

$ \sum\limits_{s = 1}^q {\sum\limits_{j = 0}^\infty {s \cdot \lambda ^{s + j} \cdot z^j } } = $ $ \sum\limits_{s = 1}^q s \lambda^s {\sum\limits_{j = 0}^\infty {\lambda ^{ j} \cdot z^j } } = $ $ (\sum\limits_{s = 1}^q s \lambda^s) ( {\sum\limits_{j = 0}^\infty {(\lambda z) ^{ j} } }) = $ $\lambda (\sum\limits_{s = 1}^q s \lambda^{s-1}) (\frac{1}{1-\lambda }) = $ $\frac{\lambda}{1 - \lambda z} \ \frac{\rm d}{{\rm d} \lambda} \sum\limits_{s=0}{q} \lambda^s = $ $\frac{\lambda}{1 - \lambda z} \ \frac{\rm d}{{\rm d} \lambda} \frac{1-\lambda^{q+1}}{1-\lambda}$

[Falex]

если в формуле

$$ \sum\limits_{k=1}^q \sum\limits_{j=0}^N S_{k+j} c_j z^j $$

сделать замену $k+j=m$, то как изменится эта формула?

[Falex]

Ну как изменится-то?

[Gordmit]

Кажется, получится так:

$$ \sum\limits_{k=1}^q \sum\limits_{j=0}^N S_{k+j} c_j z^j=\sum\limits_{m=1}^{q+N} S_m \sum\limits_{j=\max(0,m-q)}^{\min(N,m-1)} c_j z^j $$

[Falex]

Как записать в виде факториала такое выражение в зависимости от $s$. Например,

$$ s=5: 1*3, s=7: 1*3*5, s=9: 1*3*5*7 $$

и такое выражение/ y

$$ s=5: 2*4, s=7: 2*4*6, s=9: 2*4*6*8 $$

[незваный гость]

1) $(s-2)!!$
2) $(s-1)!!$

Двойной факториал $n!!$— суть произведение чисел одинаковой с $n$ четности и не превосходящих $n$.

[Falex]

А можно такую формулу упростить:

$$ \frac{(s-1)! (s-1)!!}{(s-2)!!} $$

[Someone]

$(s-1)!=(s-2)!!(s-1)!!$

[Falex]

Ага.Тогда такой вопрос.А такой ряд сходится?

$$ \sum_{k=0}^{m-1} [(k-2)!!]^2 t^{2m-2k}, $$

где m -- натуральное число.

[незваный гость]

Это не ряд. Это полином.

Для общего понимания:
1) $n! = n!! (n-1)!!$ (как и сказал Someone)
2) $(2k)!! = 2^k k!$
3) $(2k+1)!! = \frac{(2k+1)!}{2^k k!}$
4) $n!! = (\frac{2}{\pi})^{\frac{1-\cos(\pi n)}{4}}2^{n/2} \Gamma(\frac{n}{2}+1)$ — Это выражение показывает, как он растет.