Интеграл

[Unconnected]

$\int \frac{1}{x^4+1}$ как взять? От безысходности разложил знаменатель на комплексные множители, получилась фигня (видимо, вполне ожидаемая)). Точнее, интеграл нашелся, но вольфрам дает другую производную.

[Praded]

Можно просто в лоб:
1. знаменатель преобразовать в произведение;
2. с помощью метода коэффициентов дробь преобразовать в сумму двух дробей.
Далее стандартная работа по нахождению двух похожих интегралов. Там должны проявиться логарифмы и арктангенсы.

PS. Напрасно вы $dx$ теряете.

[Unconnected]

Цитата:

1. знаменатель преобразовать в произведение;

Это на какое? На квадраты вроде не раскладывается..

[bot]

Unconnected в сообщении #565720 писал(а):

От безысходности разложил знаменатель на комплексные множители

А не сопряжены ли они попарно? Чего стоит перемножить парные?

[Praded]

Unconnected в сообщении #565724 писал(а):

Это на какое? На квадраты вроде не раскладывается..

Добавьте и вычтите в знаменателе по $2x^2$. Там разность квадратов просматривается.

[Sonic86]

Unconnected в сообщении #565720 писал(а):

$\int \frac{1}{x^4+1}$ как взять?

Вообще, есть алгоритм взятия интегралов от дробно-рациональных функций, вполне удобный даже для работы ручками.

[tavrik]

разбивать на разность квадратов можно. но видимо долго. есть решение на Yahoo...
$\int \frac{1}{(x^2+1)^2-2x^2} = \int \frac{1}{(x^2+\sqrt{2}x+1)(x^2-\sqrt{2}x+1)} = \int \frac{Ax+B}{x^2+\sqrt{2}x+1} + \int \frac{Cx+D}{x^2-\sqrt{2}x+1}$

$A=\frac{1}{2\sqrt{2}}=-C$

$B=D=\frac{1}{2}$

...
..
.

[Praded]

tavrik в сообщении #565772 писал(а):

есть решение на Yahoo...

Вот взяли, и обломали человеку радость от самостоятельного решения. Он ведь теперь и интеграл будет брать не ручками.
PS. Кстати, именно на это решение я и намекал аккуратно ТС.

[tavrik]

да, сори.
я сам решаю похожий с $x^6$
там через комплексн.

[Praded]

tavrik в сообщении #565799 писал(а):

да, сори.
я сам решаю похожий с $x^6$
там через комплексн.

А можно и в лоб. Я такой интеграл осенью брал ради разминки. Там ещё и преобразования на финише нетривиальные.

[tavrik]

вот кстати ваш интеграл(ну помноженый на два) не просто на бумаге - а с объяснениями и через теорему об остатках.
на англицком.

http://www.youtube.com/watch?v=3he49YbzYvI

стоит посмотреть даже если не совсем понимаете язык - у американцев все наглядно, почти по детски.
книжки по механике помню - очень все четко разжевано.
в СССР другая школа была - там любили чтобы сам попотел :)

[Unconnected]

Взялось через разложение, спасибо :)