Рациональные числа с заданным свойством

[Ktina]

..............................................................................................................
Найти все рациональные $3<x<4$, такие что $\sqrt{x-3}$ и $\sqrt{x+1}$ - тоже рациональные.
..............................................................................................................

По-моему, искомых чисел бесконечно много и найти их все затруднительно.

Одно такое число я нашла практически сразу: $x=3,2025$. Действительно, $\sqrt{3,2025-3}=0,45$ и $\sqrt{3,2025+1}=2,05$ являются рациональными числами. Найти было легко, искала два натуральных числа с разностью квадратов, равной 40000.

Ещё один вариант (правда, не мой): $x=3\frac{49}{144}$.

Не так уж трудно и доказать, что искомых чисел бесконечно много.

Но как найти их все?

[ИСН]

Короче, $x={p\over q}$, тогда $p-3q,\,p+q\text{ и } 4q$ суть квадраты, два из коих в сумме дают третий. А пифагоровы тройки как-то там параметризуются.

[Ktina]

ИСН в сообщении #565577 писал(а):

Короче, $x={p\over q}$, тогда $p-3q,\,p+q\text{ и } 4q$ суть квадраты, два из коих в сумме дают третий. А пифагоровы тройки как-то там параметризуются.

Честно говоря, пока понятно только то, что ничего не понятно.
Вы намекаете вот на это?

Цитата:

Любая примитивная пифагорова тройка $(x,y,z)$, где x — нечётно, а y — чётно, однозначно представляется в виде $(m^2-n^2,\;2mn,\;m^2+n^2)$ для некоторых натуральных взаимно простых чисел $m > n$ разной чётности, которые можно вычислить по формулам:
$\begin{cases} m=\sqrt{\frac{z+x}2}=\frac{\sqrt{z+y}+\sqrt{z-y}}2\\ n=\sqrt{\frac{z-x}2}=\frac{\sqrt{z+y}-\sqrt{z-y}}2\end{cases}$
Наоборот, любая такая пара чисел $(m,\;n)$ задаёт примитивную пифагорову тройку $(m^2-n^2,\;2mn,\;m^2+n^2).$

[ИСН]

Ну да, оно самое.