Лишнее (?) условие в задаче о периодичности функции

[Ktina]

Все ли функции $ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} $, удовлетворяющие условию $\forall x\in\mathbb R\quad f(x)=f(2x)=f(1-x)$, являются периодическими?


Мне кажется, что условие "$=f(1-x)$" - лишнее. Ведь любая функция $ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} $, такая что $\forall x\in\mathbb R\quad f(x)=f(2x)$, неизбежно обязана быть константой, а следовательно, периодической. Или я опять чего-то не понимаю?

[Vince Diesel]

Не лишнее. Рассмотрим функцию $g(x)=f(2^x)$. Тогда $g(x+1)=g(x)$. На полуинтервале $[0,1)$ можно задать $g$ совершенно произвольно. А дальше периодически распостранить на всю прямую. Это для положительных $x$. То же самое можно проделать и для отрицательных. Ну и задать еще $f(0)$.

[Ktina]

Vince Diesel в сообщении #565230 писал(а):

Не лишнее. Рассмотрим функцию $g(x)=f(2^x)$. Тогда $g(x+1)=g(x)$. На полуинтервале $[0,1)$ можно задать $g$ совершенно произвольно. А дальше периодически распостранить на всю прямую. Это для положительных $x$. То же самое можно проделать и для отрицательных. Ну и задать еще $f(0)$.

Верно. Что-то я сильно сглупила в этот раз.

Тогда делаем так.
В двух точках, симметричных относительно $\frac{1}{2}$, функция принимает одинаковые значения. Воспользуемся этим. Тогда $f(0)=f(1)$. Так как $f(x)=f(2x)$, имеем $f(0)=f(1)=f(2)$. Далее, 2 и -1 симметричны относительно $\frac{1}{2}$, поэтому $f(0)=f(1)=f(2)=f(-1)$. И снова, так как $f(x)=f(2x)$, имеем $f(0)=f(1)=f(2)=f(-1)=f(-2)$. Ну и так далее. Поскольку целочисленные точки, симметричные относительно $\frac{1}{2}$, всегда разной чётности, с одной из сторон найдётся чётное число, и тогда воспользуемся тем, что $f(x)=f(2x)$.
Короче, все такие функции периодичны с периодом $P\le 1$.

Как-то так?

[Shadow]

Да так. Примерно такая запись:
$\\f(\frac 1 2 +x)=f(\frac 1 2 -x)=\\ f(1+2x)=f(1-2x)=f(2x)$

т.е

$f(2x)=f(2x+1)$

-- 29.04.2012, 00:46 --

Можно начать с $f(\frac{1+x}{2})=f(\frac{1-x}{2})=f(1+x)=f(1-x)=f(x)$
$f(x)=f(x+1)$

[Профессор Снэйп]

Ktina в сообщении #565213 писал(а):

Все ли функции $ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} $, удовлетворяющие условию $\forall x\in\mathbb R\quad f(x)=f(2x)=f(1-x)$, являются периодическими?


Мне кажется, что условие "$=f(1-x)$" - лишнее. Ведь любая функция $ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} $, такая что $\forall x\in\mathbb R\quad f(x)=f(2x)$, неизбежно обязана быть константой, а следовательно, периодической. Или я опять чего-то не понимаю?

Нет, не лишнее. Вот контрпример:

$$ f(x) = \begin{cases} 1, &x = 0 \\ 0, &x \neq 0 \end{cases} $$

-- Вс апр 29, 2012 03:56:08 --

Вообще, если $A$ - произвольное подмножество $\mathbb{R}$, выдерживающее умножение и деление на $2$ и не являющееся "периодическим", то характеристическая функция этого множества будет контрпримером. Наряду с $A = \{ 0 \}$ можно рассматривать $A = \{ x \in \mathbb{R} : x \geqslant 0 \}$, $A = \mathbb{Q} \setminus \{ 0 \}$ и многие другие $A$.

[Ktina]

Мне кажется, я поняла, почему я сглупила. Я подумала, что речь идёт о непрерывной функции, а она, вроде, обязана быть константой, если $f(x)=f(2x)$.
Или снова мимо?

[MrDindows]

Ktina в сообщении #565454 писал(а):

Мне кажется, я поняла, почему я сглупила. Я подумала, что речь идёт о непрерывной функции, а она, вроде, обязана быть константой, если $f(x)=f(2x)$.
Или снова мимо?

Всё верно, $f(x)=f(\frac{x}{2^n})=f(0)$ в пределе $n \to \infty$