требуется найти экстремумы функционала

[muvasilenko]

Предисловие:
имеется производственная функция $f(x,y)=a \sqrt {xy} $
Потребление составляет: $\rho(t)a\sqrt{xy}$
Накопление составляет: $ (1-\rho(t))a\sqrt{xy} $

Основная задача:
Начальные условия:
$ \left\{ \begin{array}{l} \ x(0)=x_0\\ \ y(0)=y_0 \end{array} \right. $

$ \left\{ \begin{array}{l} \dot x=(1-\rho(t))a\sqrt{xy}-\mu x(t);\\ \dot y=\alpha\rho(t)a\sqrt{xy}-\beta y(t); \end{array} \right. $

Функционал:
$ J=\int\limits_{0}^{T} a\sqrt{xy}dt + \gamma y(T) \to \max\limits_{\rho,x,y} $

Запишем Лагранжиан:
$ L=\int\limits_{0}^{T} \left[a\sqrt{xy}+\lambda(t)(\dot x-(1-\rho(t))a\sqrt{xy}+\mu x(t))+\eta(t)(\dot y-\alpha\rho(t)a\sqrt{xy}+\beta y(t)) \right]dt $

Необходимо написать вариацию данного Лагранжиана: