Символы Кристоффеля и связность

[Munin]

Бабай в сообщении #565187 писал(а):

Координаты всегда будут присутствовать за кулисами.

Не обязательно. От них можно отвлечься. Надо только научиться это делать, а это обычно учатся делать, работая с координатами. В конечном счёте, можно на неподготовленного читателя вывалить сразу определения, как они выглядят без координат, но он же ничего не поймёт.

[epros]

Бабай в сообщении #564833 писал(а):

почему в (координатном) доказательстве существования и единственности симметричной и согласованной с метрикой связности на римановом многообразии у символов Кристоффеля по умолчанию поднимают и опускают индексы, а также (циклически) переставляют индексы…в общем почему с ними вообще обращаются как с тензорами, хотя они таковыми не являются?

Если объект ведёт себя соответствующим образом при линейных преобразованиях, то уже имеет смысл различать верхние и нижние индексы.

Бабай в сообщении #564833 писал(а):

И вообще выглядит очень странно, что согласованность с метрикой говорит, что ковариантная производная, т.е. по сути частная производная метрики как функции координат, равна нулю, тогда как в итоге выражение для символов Кристоффеля как раз состоит из этих же частных производных! Как такое возможно?

Согласованность с метрикой означает, что параллельный перенос не меняет расстояний. Или, что то же самое, что параллельно перенесённый метрический тензор совпадает с метрическим тензором в точке, куда он перенесён. Или, что то же самое, что частная производная метрического тензора равна отношению $\delta g_{i j}$ к $dx^k$. Или, что то же самое, что ковариантная производная метрического тензора равна нулю. Из этого условия находят связь между $\delta g_{i j}$, которое выражается через символы Кристоффеля, и частными производными метрики. Какие проблемы?

Бабай в сообщении #564833 писал(а):

"…то есть создаётся впечатление, что единственность доказывается через существование и наоборот

Ничего подобного. Если есть метрика, то согласованная с ней симметричная связность существует и определяется известной комбинацией частных производных метрики, что доказывается тривиально. Если же есть симметричная связность, согласованная с метрикой, то она единственна, ибо выражается известной комбинацией частных производных метрики, что также доказывается довольно просто.